Dinámica De Particulas



Coordenada de la posición: distancia x entre origen O y posición P(t) con signo correspondiente. Movimiento itinerario de la partícula: x(t)



Velocidad promedio en el intervalo de tiempo Δt:



Velocidad instantánea v en el instante t (intervalos Δt cada vez más cortos):

v  lim


x dx  t 0 t dt

Rapidez: magnitud de v

1



Considerando velocidad v entiempo t y v + Δv en tiempo t + Δt; se define aceleración promedio en el intervalo Δt:



Aceleración instantánea, con Δv y Δt cada vez más pequeños:

dv d 2 x  2 entonces a  dt dt
• a>0

• a 0 : B está a la derecha de A XB/A < 0 : B está a la izquierda de A

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

vB/A : velocidad relativa de B con respecto a A

vB/A > 0 : a partir de A se observa que B se mueve en direcciónpositiva vB/A < 0 : a partir de A se observa que B se mueve en dirección negativa


a

B/A

: aceleración relativa de B con respecto a A



MOVIMIENTOS DEPENDIENTES Posición de una partícula dependerá de la posición de otra o varias. Ejemplo 1: - Posición de B depende de A.
- Longitud cuerda ACDEFG es constante. - Longitud cuerda en CD y EF (alrededor de poleas) es constante. -Entoncessuma de longitudes AC, DE y FG es constante. - Longitud AC difiere de xA por una constante. - Longitud DE y FG difiere de xB por una constante. Entonces: 14





Como solo se elige una de las dos coordenadas xA o xB como arbitraria, el sistema tiene un grado de libertad. Si xA presenta incremento ΔxA (bloque A desciende), entonces xB recibe incremento ΔxB = -1/2 ΔxA (bloque B asciende lamitad de la misma cantidad).
Ejemplo 2:



-Longitud de las cuerdas que pasan por las poleas es constante. - Coordenadas de posición de los bloques satisfacen: - Se pueden elegir arbitrariamente dos de las coordenadas, entonces sistema tiene dos grados de libertad. - Cuando relación entre estas coordenadas de posición es lineal, se tiene relación similar para velocidad y aceleración:

15

Formulas fundamentales

tienen significado geométrico

Al integrar desde t1 a t2:
Área bajo curva v-t entre t1 y t2 es igual a cambio en x en ese intervalo Área bajo curva a-t entre t1 y t2 es igual a cambio en v durante ese intervalo

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

Soluciones gráficas útiles:
cuando se utilizan datos experimentales y cuando x, v y a no son funciones analíticas de t. Cuando movimientoconsta de distintas partes, por ende, ecuaciones diferentes para cada parte. Notar que: Área bajo curva mide cambios en x y v, y no el valor mismo de x y v. Área sobre eje t denota incremento en x o v, y área bajo dicho eje denota decremento en x o v.

-

-



-

-

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

Recordar:



v=cte (línea recta), entonces x es función lineal de t (línea recta
oblicua) y no hayaceleración.



a=cte y distinta de cero (línea recta horizontal), entonces v es
función lineal de t (línea recta oblicua), y x será polinomio de segundo grado en t (parábola).



a es función lineal de t (línea recta oblicua), v será polinomio de segundo grado (parábola) y x será polinomio de tercer grado
(función cúbica)



a es un polinomio de grado n en t, velocidad serápolinomio de grado n + 1 en t, y posición será polinomio de grado n +2.

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Considerando los vectores posición r(t) y r’(t+dt), se obtiene la diferencia de posición dr, entre el punto P y P’. se define la velocidad instantánea como:

Y la magnitud del vector V, es la rapidez
Esta magnitud es representado por el segmento PP’, y se acerca a la longitud ds del arco PP’ y cuando dt disminuye setiene:

Observe que V esta en P’ y no en P

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Ahora dibujando la velocidad V y V’ de los puntos P y P’, en un origen O’, se encuentra un vector llamado dv que une a los puntos Q y Q’, que representa el cambio de velocidad en un intervalo dt. Además dv, representa un cambio en la dirección y rapidez de la partícula Y la aceleración instantánea queda definida por:

La que es tangente a la...