Dinamica aplicada

CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTICULAS RESPECTO A SU MASA

En algunas aplicaciones es conveniente considerar el movimiento de las partículas del sistema con respecto a un sistema de referencia centroidal Gx´ y´z´ que se traslada con respecto al sistema de referencia newtoniano Oxyz. Si bien el sistema de referencia centroidal no es, en general, un sistema dereferencia newtoniano, se observa que la relación fundamental se cumple cuando el sistema de referencia Oxyz se sustituye por Gx´y´z´.
Al denotar respectivamente, mediante r´y v´el vector de posición y la velocidad de la particula Pi relativos al sistema de referencia en movimiento Gx´y´z´se define la cantidad de movimiento angular H´o del sistema de partículas alrededor del centro de masa G de lamanera siguiente


Despues de esto se diferencian ambos miembros de la ecuación con respecto a t.


Donde a´i denota la aceleración de Pi relativa al sistema de referencia en movimiento

Consideremos un sistema discreto formado por n partículas que evoluciona en el tiempo...

Sinos planteásemos el estudio dinámico del sistema, respecto de un referencial inercial, bien podríamos hacerlo aplicando a cada partícula la ecuación fundamental de la dinámica...

Si ahora sumamos miembro a miembro las n ecuaciones obtenemos:
(2.1)
Si el primer término lo denotamos por Fext (representa la suma de las fuerzas exteriores aplicadas al sistema de partículas), el segundo término escero (representa la suma de todas las fuerzas interiores aplicadas al sistema) y sabiendo que el producto mivi es el momento lineal (pi) de la partícula "i", la expresión anterior queda como sigue:
(2.2)
Si definimos al momento lineal de un sistema de partículas como la suma de los momentos lineales individuales de cada una de las partículas, nos quedará la expresión que sigue para un sistemadiscreto de partículas...

"las fuerzas exteriores aplicadas a un sistema coinciden con la variación temporal del momento lineal del sistema de partículas. Como podemos observar esta expresión es formalmente análoga a la obtenida para una partícula (F=dp/dt) Siguiendo con esta analogía podríamos definir una partícula en la que estuvieran aplicadas todas las fuerzas exteriores y concentrada todala masa del sistema. Es el centro de masas (c.d.m.), la ecuación fundamental de la dinámica (teniendo en cuenta que F=Fext y P=MVcdm) para este punto sería:

Donde, como vemos, hemos obtenido la velocidad del c.d.m. en función de las velocidades de cada una de las partículas respecto de un referencial (sistema de referencia) inercial. La posición del c.d.m. (Rcdm) la obtendríamos integrando lavelocidad y la aceleración (Acdm) la obtendremos si derivamos con el tiempo dicha velocidad...

El haber definido este nuevo punto nos servirá para estudiar dinamicamente un sistema de partículas...¿queda perfectamente estudiado un sistema si se conoce la dinámica del c.d.m.?. Muchos sistemas, que evolucionan en el tiempo, quedarán estudiados con sólo estudiar la dinámica del c.d.m. (hasta ahorahabíamos estado haciendo esto para la traslación de los sólidos) y en aquellos donde esto no ocurra podemos hacer un estudio posterior de la dinámica de las partículas del sistema respecto de un referencial situado en el c.d.m. que por comodidad haremos que sus ejes sean siempre paralelos a los del referencial inercial. Para fijar ideas observemos la figura adjunta.
 
| Con la finalidad desimplificar, sin que por ello se pierda rigor, hemos supuesto un sistema discreto formado por dos partículas, siendo r'1 la posición de la partícula 1 respecto del referencial situado en el c.d.m. y r'2 la posición de 2 respecto de dicho referencial. Por otra parte, r1, r2 y Rcdm son las posiciones de 1,2 y c.d.m. respectivamente, respecto del referencial inercial (O). Las relaciones entre ellas...