Dinamica Probilistica

sEJERCICIO1.
Se desean invertir $10.000 durante los siguientes 4 años. Determine una estrategia óptima de inversión, suponiendo q las probabilidades pky el ingreso rkvarían durante los 4 años, de acuerdo con los datos siguientes:
Año | r1 | r2 | r3 | p1 | p2 | p3 |
1 | 2 | 1 | 0.5 | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
2 | 1 | 0 | -1 | 0.4 | 0.4 | 0.2 |
3 | 4 | -1 | -1 | 0.2 | 0.4 | 0.4 |
4 | 0.8 | 0.4| 0.2 | 0.6 | 0.2 | 0.2 |

Solución
Del enunciado:
C=$10.000 el dinero que se va a invertir durante los 4 años.
n=4, número de períodos
Sea:
Xi: dinero disponible al inicio del año i.
Yi: cantidad a invertir al inicio del año i.
Con Yi ≤ Xi
Xi+1 = rk*Yi + Xi: dinero disponible al inicio del período i+1.
Etapa 4:
F4(x4) =x4+ ((p1*r1) + (p2*r2) + (p3*r3))*x4
F4(x4) =x4(1+ (0.6*0.8) +(0.2*0.4) + (0.6*(0.2)))
F4(x4)=1.6*x4

La solución de la etapa 4 es:
| f4*(x4) | Y4* |
x4 | 1,6x4 | X4 |

Etapa 3:
F3(x3)=Max {p1*f4(x3+r1*y3) + p2*f4(x3+r2*y3) + p3*f4(x3+r3*y3)}
F3(x3)=Max {0.2*1.6(x3+4*y3) + 0.4*1.6(x3-1*y3) + 0.4*1.6(x3-1*y3)}
F3(x3)=Max {1.6x3+0*y3}
El máximo valor se alcanza al invertir todo y3=x3
La solución de la etapa 3 es:
| F3*(x3) | Y3* |
X3 | 1,6x3| X3 |

Etapa 2:
F2(x2)=Max {p1*f3(x2+r1*y2) + p2*f3(x2+r2*y2) + p3*f3(x2+r3*y2)}
F2(x2)=Max {0.4*1. 6(x2+1*y2) + 0.4*1.6(x2+0*y2) + 0.2*1.6(x2-1*y2)}
F2(x2)=Max {1.6x2+0.32y2}
El máximo valor se alcanza al invertir todo y2=x2
La solución de la etapa 2 es:
| F2*(x2) | Y2* |
X2 | 1.92x2 | X2 |

Etapa 1:
F1(x1)=Max {p1*f2(x1+r1*y1) + p2*f2(x1+r2*y1) + p3*f2(x1+r3*y1)}
F1(x1)=Max{0.1*1.92(x1+2*y1) + 0.4*1.92 (x1+1*y1) + 0.5*1.92(x1+0.5y1)}
F1(x1)=Max {1.92x1+1.632y1}
El máximo valor se alcanza al invertir todo y1=x1
La solución de la etapa 1 es:
| F1*(x1) | Y1* |
X1 | 3,552x1 | X1 |

Entonces la estrategia óptima es:
* Invertir $10 000 el año 1.
* Invertir todo el año 2.
* No invertir el año 3.
* Invertir todo el año 4.
Los fondos acumulados alfinal de 4 años son:
3.552*x1= 3.552*10000= $ 35520
Luego la función recursiva es:

EJERCICIO 3.
Una persona desea invertir $2000. Dispone de las opciones de duplicar la cantidad invertida, con una probabilidad de 0.3, o de perder todo con una probabilidad de 0.7. las inversiones se venden al final del año, y las reinversiones, que pueden ser totales o parciales, comienzan al principiar elaño siguiente. El proceso se repite durante tres años consecutivos. El objetivo es maximizar la probabilidad de obtener $4000 al final del tercer año. Para simplificar, suponer que todas las inversiones son en múltiplos de $1000.

r1=1 Con probabilidad 0.3, y r2=-1 con probabilidad 0.7

Etapa 3.
El estado x3 puede ser tan pequeño como 0, y tan grande como $8000.
El valor mínimo se realizacuando se pierde toda la inversión, y el máximo se presenta cuando la inversión sube al doble al final de cada uno de los 2 primeros años.

f3x3=maxy3=0,1,…,x30.3Px3+y3≥4+0.7Px3-y3≥4

Donde x3=0,1,…,8

Elementos no factibles, porque no satisface y3≤x3

Px3+y3≥4=0, &si x3+y3<41, &en cualquier otro caso

Px3-y3≥4=0, &si x3-y3<41, &en cualquier otro caso

Latabla muestra que existen óptimos alternativos para x3=1,3,4,5,6,7 y 8 , aunque la columna de optimo (ultima) solo indica el optimo mínimo y3. En este caso la hipótesis es que el inversionista no va a invertir más que lo que sea absolutamente necesario para lograr el objetivo que persigue.

| |   | 0,3P(x3+y3≥4)+0,7P(x3-y3≥4) | | | | | | |
| | | | | | | | | | Optimo |
x3 |y3=0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | f3 | y3 |
0 | 0,3*0 + |   |   |   |   |   |   |   |   | 0 | 0 |
  | 0,7*0 = 0 |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |
1 | 0,3*0 + | 0,3*0 + |   |   |   |   |   |   |   | 0 | 0 |
  | 0,7*0 = 0 | 0,7*0 = 0 |   |   |   |   |   |   |   |   |   |
2 | 0,3*0 + | 0,3*0 + | 0,3*1 + |   |   |   |   |   |   | 0,3 | 2 |
  | 0,7*0 = 0 | 0,7*0 = 0 | 0,7*0...