Discretizacion

Modelos discretos de sistemas continuos

1. Introducción.
Discretización es un procedimiento por el que se define un modelo con un número finito de
grados de libertad que permite aproximar el comportamiento de un sistema continuo. Es
decir, el modelo continuo de un sistema, que por ser continuo tiene infinitos grados de
libertad, se aproxima mediante otro modelo que está definido medianteun número finito de
parámetros. Se definen como modelos discretos aquellos que tienen un número finito de
grados de libertad. Generalmente, la discretización, al permitir plantear la ecuación del
movimiento en función de un número finito de parámetros, simplifica la solución del
problema de vibraciones planteado.
La discretización de cualquier sistema será mejor o peor en función de lacapacidad del
modelo y los parámetros empleados para representar fielmente el comportamiento real del
sistema.
Se han propuesto muchos procedimientos para obtener modelos discretos suficientemente
aproximados a los sistemas continuos. Unos son más simples que otros. Unos están basados
en aproximaciones más o menos intuitivas y simples y otros en aproximaciones algo más
complejas. Algunos de estosprocedimientos se verán a continuación.

2. Discretización mediante la concentración de masas y fuerzas.
Este es el método más intuitivo y simple. Consiste en definir una serie de puntos en el sistema
continuo y suponer que toda la masa y las fuerzas aplicadas al sistema están concentradas en
dichos puntos. El cuerpo mantiene sus características de rigidez, pero la masa y la fuerzadistribuida se aproximan mediante masas y fuerzas concentradas que produzcan
aproximadamente el mismo efecto.
La figura 1 muestra ejemplos de discretización de dos sistemas simples. En la figura 1a, se
representa una barra de sección variable sometida a vibración axial, de la que pretenden
analizarse las características principales. Debajo del esquema de la barra se muestra un
modelo discreto de lamisma en el que se han definido una serie de tramos de igual longitud.
La masa distribuida de cada uno de los tramos se ha supuesto concentrada en su centro de
gravedad. Los parámetros que definen el comportamiento del sistema (grados de libertad) son
los desplazamientos, uj, de cada uno de los puntos en que se han concentrado las masas,
denominados nodos o puntos de discretización. La rigidez decada tramo de la barra entre dos
nodos es igual a la rigidez del mismo tramo en el sistema real, y se calcula de acuerdo con la
teoría de la resistencia de materiales. Este sistema discreto representa una barra sin masa pero
con características de rigidez igual a la real y un conjunto de masas concentradas que
aproximan la masa distribuida del sistema, con el mismo valor total de la masa y elmismo
centro de gravedad. En este modelo, teniendo en cuenta que la zona situada entre las masas se
ha modelado mediante elementos elásticos sin masa, en dichas zonas no habrá fuerzas de

inercia. Por tanto los elementos siempre se deformarán sometidos únicamente a fuerzas de
inercia en sus extremos. En ese caso, en cualquier instante de la vibración, conocida la
posición de las masasconcentradas se conoce la de todo el sistema. Es decir, el sistema tiene
un número de grados de libertad igual al de parámetros necesarios para definir la posición de
las masas concentradas. En el caso de vibración axial que nos ocupa, el número de grados de
libertad del modelo discretizado es igual al de masas concentradas.
La figura 1b muestra el esquema del eje de transmisión de una máquina,también de sección
variable, sometido en este caso a vibración torsional. Debajo de él se muestra un modelo
discreto del sistema anterior en el que el eje se considera sin masa, pero con las mismas
propiedades elásticas que la original. Las características de inercia se han dividido en tramos;
el momento de inercia de cada tramo se ha supuesto concentrado en el centro del mismo,
representado...