Ejercicios discretización

Problema de Control: “Para cada proceso, diseñar un controlador continuo tal que el error en estado estacionario sea igual a cero ante señales de referencia y perturbaciones del tipo escalón.”
a.1) Proponer y justificar adecuadamente algún tipo de controlador continuo que resuelva el problema de control planteado. Seleccionar entre controladores basados en ZN y el método de asignación dedinámica. Para cada caso se pide realizar análisis, simulaciones y agregar comentarios y conclusiones pertinentes.

Gps=90s2+1.8s+9
Para este controlador se analizó que con el método de ZN-1 no iba a poder proponerse una ecuación debido a que no existe un retraso, de igual manera el método de ZN-2 tampoco se puede debido a que no hay raíces puramente imaginarias, por lo cual se propone una asignacióndinámica de segundo orden, forma genérica de la ecuación y datos significativos son los siguientes:
HYR*(s)=K*ωn*2s2+2δ*ωn*s+ωn*2
Por lo tanto se propone K*=1 para garantizar el ess=0, de igual manera se propone una δ*=1 para garantizar el sobreamortiguamiento, por lo tanto para sacar el valor de la ωn* se propone un Test= 2:
ωn*=4δTest=41*2=2
Por lo tanto nos queda un HYR*(s):HYR*(s)=4s2+4s+4
Método de asignación dinámica de segundo orden y el despeje del Gc:
HYRs=HYR*s=GCGP1+GCGP
Gcs=1Gps∙HYR*s1-HYR*s= s2+2δωns+ωn2Kωn2∙HYR*(s)1-HYR*(s)
Gcs=s2+2δωns+ωn2Kωn2∙K*ωn*2s2+2δ*ωn*s+ωn*21-K*ωn*2s2+2δ*ωn*s+ωn*2
Sustituyendo:
Gcs=s2+1.8s+990∙4s2+4s+41-4s2+4s+4
Gcs=s2+1.8s+990∙4s2+4s+4s2+4ss2+4s+4=s2+1.8s+990∙4s2+4s
Gcs=4s2+7.2s+3690(s2+4s)=0.0444s2+0.08s+0.4s2+4s

Simulaciónen MATLAB:

>> s=tf('s');
>> Gps=90/(s^2+1.8*s+9)

Transfer function:
90
---------------
s^2 + 1.8 s + 9

>> Hyrs=4/(s^2+4*s+4)

Transfer function:
4
-------------
s^2 + 4 s + 4

>> Gcs=(1/Gps)*(Hyrs/(1-Hyrs))

Transfer function:
4 s^4 + 23.2 s^3 + 80.8 s^2 + 172.8 s + 144
-------------------------------------------
90 s^4 + 720 s^3+ 1800 s^2 + 1440 s

>> Gcs=minreal((1/Gps)*(Hyrs/(1-Hyrs)))

Transfer function:
0.04444 s^2 + 0.08 s + 0.4
--------------------------
s^2 + 4 s

>> step(feedback(Gcs*Gps,1))

a.2) Diseñar para cada proceso un controlador digital basado en la emulación del controlador continuo previamente diseñado. Para esto, se sugiere utilizar la mejor aproximación para eldiseño del controlador digital. Considere un período de muestreo de 0.01 seg. Para cada caso se pide realizar análisis, simulaciones y agregar comentarios y conclusiones pertinentes.

Se utilizará el método de Tustin para discretizarlo ya que garantizamos la estabilidad del controlador.
Gcs|s=2T∙z-1z+1=Gcz
Gcs=0.044420.01∙z-1z+12+0.0820.01∙z-1z+1+0.420.01∙z-1z+12+420.01∙z-1z+1Gcs=0.044440000∙z2-2z+1z2+2z+1+0.08200∙z-1z+1+0.440000∙z2-2z+1z2+2z+1+4200∙z-1z+1

Gcs=1792z3+1759z2+1791z+1760z3+3z2+3s+140800z3-39200z2-40800z-39200z3+3z2+3z+1=1792z2-3551z+1760z2+2z+140800z2-80000z-39200z2+2z+1

Gcs=1792z2-3551z+176040800z2-80000z-39200

Gcs=0.04393z2-0.08704z+0.04315z2-1.961z+0.9608

Simulando en MATLAB:

>> Gcz=c2d(Gcs,0.01,'Tustin')

Transfer function:
0.04397 z^2 - 0.08713 z+ 0.04319
---------------------------------
z^2 - 1.961 z + 0.9608

Sampling time: 0.01
>> HGpz=c2d(Gps,0.01,'zoh')

Transfer function:
0.004473 z + 0.004446
----------------------
z^2 - 1.981 z + 0.9822

Sampling time: 0.01
>> step(feedback(Gcz*HGpz,1))

Como se puede observar Gcz calculada y por el comando c2d de MATLAB dan prácticamente el mismo valor, y comose puede observar en la siguiente figura, la respuesta al escalón sigue garantizando estabilidad del controlador.

a.3) Para cada diseño, se pide realizar una comparación clara entre el diseño continuo y el diseño digital. Para esto se puede empalmar las respuestas al escalón de ambos diseños en lazo cerrado en una misma gráfica.

Para este ejercicio se utiliza MATLAB con un simple...