diseño de mecanismos

ESTABILIDAD II

CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

4
TEORIAS DE FALLAS O
DE COMPARACIÓN
4.1 CONCEPTOS COMPLEMENTARIOS SOBRE ENERGIA ESPECIFICA DE
DEFORMACION

4.1.1 Energía total de deformación
La energía específica de deformación en un punto de un sólido sujeto a un estado de tensión
cualquiera, es una función tanto de las tensiones actuantes como de las deformaciones. En los
capítulosanteriores ya hemos analizado el valor de la energía de deformación por unidad de volumen
para algunos casos simples:
Esfuerzo axial : u =
Corte puro : u =

1
σε
2

1
τγ
2

Las expresiones anteriores surgen de la consideración del comportamiento del material como elástico
lineal, es decir, que vale la Ley de Hooke.
En el caso más general de un estado triple tendremos que considerarla energía específica de
deformación correspondiente a cada tensión.
u=

1
1
1
1
1
1
σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ xz γ xz + τ yz γ yz
2
2
2
2
2
2

u=

1 1
 1 1

σ x  σ x − µ (σ y + σ z )  + σ y  σ y − µ(σ x + σ z )  +
2 E
 2 E


[

]

[

]

(4.1)
+

u=

τ xy 1
τ yz
1 1
τ
1
 1
σ z  σz − µ(σ x + σ y )  + τ xy
+ τ xz xz +τ yz
2 E
G 2
G 2
G
 2

[

[(

]

]

)

[

1
1 2
σ 2 + σ 2 + σ 2 − 2µ (σ x σ y + σ x σ z + σ y σ z ) +
τ xy + τ 2 + τ 2
x
y
z
xz
yz
2E
2G

]

En el caso particular de un estado doble, la expresión anterior se reduce a la siguiente:
u=

[

]

1 2
1 2
σ x + σ 2 − 2µ σ x σ y +
τ xy
y
2E
2G

(4.2)

y en el estado lineal
u=

1 2
σx
2E

(4.3)4.1.2 Relación entre las constantes elásticas
/2005

1

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CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

4.1.2.1 Relación entre E y G
Si en un cuerpo sometido a tensiones consideramos un elemento diferencial en una determinada
posición, la energía de deformación por unidad de volumen correspondiente al mismo deberá
mantenerse se la suponemos rotado.
Si tenemos un prisma elementalsometido a corte puro, sabemos que a 45º de esa posición nos
encontraremos en el elemento sometido a tensiones de tracción y compresión, las que en valor
absoluto serán iguales entre sí e iguales e la tensión tangencial. Si evaluamos la energía de
deformación por unidad de volumen en ambos casos obtendremos:
1 τ2
2G
1 2
1
u=
σ1 + σ 2 − 2 µ σ1 σ 2 =
2τ 2 + 2µτ2
2
2E
2E
1+ µ 2
1 2
1+ µ
1u=
τ =
τ →
=
E
2G
E
2G
E
G=
2(1 + µ )

σ1

u=

[

]

[

]
σ2
 σ1  = σ2  = τ

Fig. 4.1

(4.4)

De esta manera hemos encontrado la relación existente entre E, G, y µ, relación de la que ya habíamos
hablado anteriormente.
4.1.2.2 Relación entre módulos E y K
Consideramos un cubo inicialmente de lados unitarios, sometido a tensiones normales σx , σy , σz.Fig. 4.2

La longitud final de cada lado del cubo será:
lx = (1 + ε x)
ly = (1 + ε y )
lz = (1 + ε z )
Volumen final

Vf = (1 + ε x ) (1 + ε y ) (1 + ε z )

Por Ser ε i valores pequeños, se desprecian los términos de productos de 2º y 3º orden:
Vf = 1 + ε x + ε y + ε z
/2005

2

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CAPITULO IV: TEORIAS DE FALLA

Calculando la deformación específica volumétrica
Vf −Vi
= εx + ε y + ε z
Vi
Reemplazando los ε i en función de las tensiones normales:
εv =

εv =

[

]

1
(σ x + σ y + σ z )(1 − 2µ )
E

Para el caso particular en que σ x = σy = σz = σp (Estado de tensión hidrostática)
εv = 3

σp
(1 − 2µ ) = ctte × σp
E

Anteriormente llamamos K a la constante que vincula a la tensión con la deformación específica
volumétrica.
σp = K ⋅ ε v →K =

E
3(1 − 2µ )

módulo de elasticidad volumétrico

Como ε ≠ 0 , el valor entre paréntesis: (1 – 2µ) > 0 , o sea, µ < 0,5

4.1.3 Energía por variación de volumen y por variación de forma
La energía específica de deformación puede considerarse como respuesta de dos partes:
u = uV + uF

(4.5)

uv = energía necesaria para producir el cambio de volumen del elemento diferencial...