Distancia entre 2 puntos en el plano cartesiano

Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano
El Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas(x2 – x1) .
Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, ladistancia queda determinada por la relación:

(1)

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el Teorema de Pitágoras.

Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)

d = 5 unidades
Demostración
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos enel plano.
 
 La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =  esta dada por:
 
(1)
En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmento de recta 
 

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Figura 1

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulorectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:

Pero:  ; 

 y 

Luego, 

 

Calcular la distancia entre dos puntos:
1) A(3;2) y B(5;6)
d=5-32+6-22
d=22+42
d=20
2) M(1;-3) Y N(-4;2)
d=-4-12+2-(-32
d=-52+52
d=50
La recta , ángulo de inclinación y pendiente de una rectaLa recta
La recta, o línea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una dimensión y contiene infinitos puntos, se puede representar como un vector; está compuesta de infinitos segmentos. El segmento es el fragmento mas corto de una linea que une dos puntos. La recta también se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, sin mostrar niprincipio ni fin. También existe la recta numérica que es de las mismas características pero esta representando el orden de los numero.

UNA LINEA RECTA
Analíticamente, es una ecuación lineal o de primer grado en dos variables. Recíprocamente, la representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos variables es una recta.
Una recta queda determinada completamentesi se conocen dos condiciones, por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular), etc.
La pendiente de una recta corresponde al cambio en Y dividido el cambio en X la cual corresponde a la ecuación:
.
Cuando la recta se inclina hacia arriba de izquierda a derecha, se dice que esta recta tiene pendiente positiva.
Cuando la recta se inclina hacia abajode izquierda a derecha , se dice que esta recta tiene pendiente negativa.
Cuando la recta es horizontal , la pendiente de la recta es 0.
Cuando la recta es vertical, la pendiente de la recta no esta definida.

Características de la Recta
* La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.
* La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometríaeuclidiana.
* La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.
Pendiente de una recta.
Dos rectas al cortarse forman dos pares de Ángulos opuestos por el vértice. Por tanto, la expresión “el ángulo comprendido entre dos rectas “ es ambigua , ya que tal ángulo puede ser el α a o bien su suplemento el β.

Para hacer una distinción entre estos dos...