Distancia minima entre rectas

Scientia et Technica Año XIV, No 39, septiembre de 2008. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701

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DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS OBLICUAS
Minimal distance between two oblique straight lines

RESUMEN
Dos rectas en R3 se llaman oblicuas o cruzadas si son no paralelas y no se
intersectan.
El objetivo de esta nota es encontrar los dos puntos de dos rectas oblicuas queminimizan la distancia entre dos puntos arbitrarios de las rectas, es decir, hallar
esa distancia mínima entre ellas.
Se prueba, además, que distancia mínima es la distancia entre dos planos
paralelos que contienen ambas rectas.
PALABRAS CLAVES: recta, plano, producto vectorial, independencia lineal,
producto escalar, intersectan.

ABSTRACT
Two straight lines in R3 are named oblique orcrossed if they are not paralleled
and not intersected.
The objective of this note is to find two points of two oblique straight lines that
minimize the distance between the two straight lines.
It’s proven, besides, that the minimum distance is the distance between two
parallel planes that contain both straight lines.

JORGE ELIECER ROJAS CANO
Matemático Universidad Nacional.
Magister enMatemáticas
Universidad Nacional
Profesor Titular
Universidad Tecnológica de Pereira
FERNANDO MESA
Licenciado en matemáticas UTP
Especialista en docencia
universitaria
Universidad Cooperativa de
Colombia
Magister en instrumentación física
UTP
Profesor titular
Universidad Tecnológica de Pereira
femesa@utp.edu.co

KEYWORDS: plane, straight line, vectorial product, linear independence,scalar product, norm, intersection

1.

INTRODUCCIÓN

El problema de la distancia mínima entre dos rectas
oblicuas L1, L2 entraña un proceso de minimización el
cual queda soslayado o encubierto en las definiciones a
las que recurren algunos textos de cálculo. Por ejemplo,
en [1] se lee la definición: “por la distancia mínima entre
las dos rectas L1, L2 se entiende la distanciaperpendicular entre planos P1 y P2”, estos planos son
paralelos y contienen las rectas, ver figura 1. Una
definición semejante se encuentra en [2].

Fecha de Recepción: 5 de Julio de 2008.
Fecha de Aceptación: 27 de Julio.

Figura 1. P1 y P2 planos paralelos que contienen las rectas
L1 y L2.

Scientia et Technica Año XIV, No 39, septiembre de 2008. Universidad Tecnológica de Pereira.

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En[3] la aproximación al problema es una variante
análoga a las definiciones anteriores:
“Nos planteamos el problema de encontrar la distancia
más corta que existe entre estas dos rectas”…” La idea
general es “meter” L1 en un plano P1 de modo que la
recta L2, queda paralela a este plano; logrado esto, la
distancia procurada no es más que la distancia de un
punto (cualquiera) de la recta L2 alplano P2”.
Enfocamos el asunto como un problema típico de
minimizar una función de dos variables y hallamos,
explícitamente, los puntos Xo, Yo, Xo ∈ L1, Yo∈ L2 que
minimizan la distancia entre dos puntos arbitrarios de las
rectas.
Con la deducción de (1.8) se justifican teóricamente las
definiciones y procesos de carácter intuitivo que hemos
enunciado, y la definición, geométricamente másprecisa,
mediante la noción de “la transversal más corta” que
aparece en [4], (ver figura 2 tomada del mismo texto).

de la cual se deducen las
identidades:
A2 × ( A1 × A2 ) = A2

2

A1 − ( A1 ⋅ A2 ) A2

A1 × ( A1 × A2 ) = ( A1 ⋅ A2 ) A1 − A1

2

(1.4)
(1.5)

A2

2. CONTENIDO
Sean ahora dos rectas L1, L2 en R3 definidas
vectorialmente por:
X ( s) = P + sA, Y ( t ) = P2 +tA 2 , respectivamente
1
donde P1≠P2, y A1, A2 son no nulos y no colineales, s, t
∈ℜ
2

Sea f ( s, t ) = X ( s) − Y (t ) , el cuadrado de la distancia
entre los puntos arbitrarios de L1 y L2.
Es claro que ƒ es no acotada. Para minimizar ƒ se
encuentran primero sus puntos críticos.

f ( s, t ) = R + sA1 − tA2

Como

2

, R = P1 − P2
2

2 2

2 2

f (s, t ) = A1 s + A2 t +...