Distribución De Probabilidad De Poisson

Distribución de probabilidad de POISSON
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es unadistribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.
Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en sutrabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).
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Propiedades
La función de masa de la distribución de Poisson es

donde
* k es el número de ocurrencias del evento ofenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
* λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos,usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
* e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)

Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretacióncombinatorio. De hecho, cuando el valor esperado dela distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.
La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a , el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representan la función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.
La función generadorade momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es

Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.
La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de parámetro λ es

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Relación con otrasdistribuciones
Sumas de variables aleatorias de Poisson
La suma de variables aleatorias de Poisson independientes es otra variable aleatoria de Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros de las originales. Dicho de otra manera, si

son N variables aleatorias de Poisson independientes, entonces
.

Distribución binomial
La distribución de Poisson es el caso límite de la distribuciónbinomial. De hecho, si los parámetros n y  de una distribución binomial tienden a infinito y a cero de manera que  se mantenga constante, la distribución límite obtenida es de Poisson.

Aproximación normal
Como consecuencia del teorema central del límite, para valores grandes de , una variable aleatoria de Poisson X puede aproximarse por otra normal dado que el cociente

converge a unadistribución normal de media nula y varianza 1.

Distribución exponencial
Supóngase que para cada valor t > 0, que representa el tiempo, el número de sucesos de cierto fenómeno aleatorio sigue una distribución de Poisson de parámetro λt. Entonces, los tiempos discurridos entre dos sucesos sucesivos sigue la distribución exponencial.
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Ejemplos
Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson. En este caso concreto, k es 5 y , λ, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8....