distribución t-Student




Distribución t-Student

Teoría de pequeñas muestras

En probabilidad y estadística, la distribución t-Student es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media  y varianza Si es el promedio delas n observaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la distribución  es una distribución normal estándar. Supóngase que la varianza de la población es desconocida. ¿Qué sucede con la distribución de esta estadística si se reemplaza  por s? La distribución t proporciona la respuesta a esta pregunta.
La media y la varianza de la distribución t son  y  para >2, respectivamente.
La siguientefigura presenta la gráfica de varias distribuciones t. La apariencia general de la distribución t es similar a la de la distribución normal estándar: ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de la ordenada se alcanza en la media  Sin embargo, la distribución t tiene colas más amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribución normal. Amedida que el número de grados de libertad tiende a infinito, la forma límite de la distribución t es la distribución normal estándar.

 

Propiedades:
1. La media es 0 y su varianza , n>2.
2. La gráfica de la función de densidad es en forma de campana.
3. Los datos están más disperso que la curva normal estándar.
4. A medida que n aumenta, la gráfica se aproxima a la normal N(0,1).
5. Lagráfica es muy parecida a la de la normal estándar diferenciándose en que las colas de t están por encima de la normal, y el centro se encuentra por debajo del de la normal.
6. Cuando los grados de libertad son altos, los valores de t coinciden con los de la normal.

Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media  y varianza Si es el promedio de las n observaciones quecontiene la muestra aleatoria, entonces la distribución  es una distribución normal estándar. Supóngase que la varianza de la población es desconocida. ¿Qué sucede con la distribución de esta estadística si se reemplaza  por s? La distribución t proporciona la respuesta a esta pregunta.
La media y la varianza de la distribución t son  y  para >2, respectivamente.
La siguiente figura presenta lagráfica de varias distribuciones t. La apariencia general de la distribución t es similar a la de la distribución normal estándar: ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de la ordenada se alcanza en la media  Sin embargo, la distribución t tiene colas más amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribución normal. A medida que el númerode grados de libertad tiende a infinito, la forma límite de la distribución t es la distribución normal estándar.

 
Ejemplo:
Encuentre la probabilidad de –t0.025 < t < t0.05.
Solución:

Como t0.05 deja un área de 0.05 a la derecha, y –t0.025 deja un área de 0.025 a la izquierda, encontramos un área total de 1-0.05-0.025 = 0.925.
P( –t0.025 < t < t0.05) = 0.925
INTERVALO DE CONFIANZAPARA ; CON  DESCONOCIDA
Si y s son la media y la desviación estándar de una muestra aleatoria de una población normal con varianza , desconocida, un intervalo de confianza de 
()100% para  es:

donde /2 es el valor t con  = n-1 grados de libertad, que deja un área de /2 a la derecha.
Se hace una distinción entre los casos de  conocida y  desconocida al calcular las estimaciones del intervalo deconfianza. Se debe enfatizar que para el primer caso se utiliza el teorema del límite central, mientras que para  desconocida se hace uso de la distribución muestral de la variable aleatoria t. Sin embargo, el uso de la distribución t se basa en la premisa de que el muestreo se realiza de una distribución normal. En tanto que la distribución tenga forma aproximada de campana, los intervalos de...