distribucion hipergeometricas

LECCIÓN 4:
ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

•Distribución Uniforma Discreta
•Proceso de Bernoulli
•Distribución Binomial
•Distribución de Poisson
•Distribución Geométrica
•Distribución Hipergeométrica o de Laplace
•Distribución Multinomial

DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA
Decimos que una variable aleatoria discreta sigue una
distribución uniforme discreta, cuando la probabilidaden todos
los puntos es la misma.
Función de distribución

Función Cuantía

f(x)=
i=1,2,..k

0

si xxi
F(x)=

1/k si x=xi

i=1,2,..k

0

si x
1/k

si x1x2

2/k

si x2x3

............
1

si xxk

DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA
Momentos:
•Media

= E[x]= 1/k xi

•Varianza

Var(x)= E[x2]- [E[x]2]=1/k (xi- )2

•Función Característica
x(t)= E[eitx]= eitx1/n
•Función generatriz de momentosgx(t)= E[etx]= etx1/n

PROCESO DE BERNOULLI
Definición de los supuestos de Bernoulli
a) El experimento sólo puede tener dos posibles resultados, ambos
mútuamente excluyentes (verdadero/falso, éxito/fracaso).
b) Las pruebas en las que se obtienen los sucesos anteriores
(éxito/fracaso) son independientes.
c) Las probabilidades de éxito fracaso son constantes
Función Cuantía
f(x)=pxq1-x
Media = pVarianza = pq

Función de distribución

x(0,1)
F(x)=

0

si x<0

q

si 0x<1

1

si x1

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

B(n,P)

Experimento aleatorio consistente en realizar n ensayos, en donde
se verifican los supuestos de Bernoulli. Xnúmero de éxitos
Función Cuantía

f(x)=

Función de distribución

n pxqn-x
x

si x=xi

0

si xxi

F(x)=P(X x)=  n piqn-i
ix i

Momentos:
Media = E[x]= np

VarianzaVar(x)= npq

F.Característica

F. Generatriz de Momentos

x(t)= E[eitx]= (peit+q)n

gx(t)= E[etx]= (pet+q)n

La distribución binomial nos proporciona el
número de éxitos pero no el orden en el que
suceden
Propiedad:
Si X1 y X2 son dos variables aleatorias independientes
distribuidas según B(n1,p) y B(n2,p) respectivamente,
entonces la variable aleatoria X=X1+X2 se distribuye según
B(n1+n2,p)DISTRIBUCIÓN DE POISSON

P()

Caso particular de la F. Binomial aplicable cuando el cálculo
resulta engorroso (media muy pequeña con relación al número
de pruebas). Al igual que la ley Binomial cumple los requisitos
de Bernoulli.
Xnúmero de éxitos
Función Cuantía

Función de distribución

f(x)= e-x
x!

F(x)=  e-r
rx r!

Media 

=np
Varianza 

F. Característica

F. Generatriz de momentosx(t)= E[eitx]= e  (eit-1) gx(t)= E[etx]= e  (et-1)

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

G(P)

Cumple con los supuestos de Bernoulli
X  número de fracasos que tienen lugar antes de que aparezca
el primer éxito.
Función Cuantía
f(x)=qxp

Función de distribución

x=0,1,2,....n
F(x)=

Momentos:
Media = E[x]= q/p

1-qx+1

x0

0

x<0

Varianza Var(x)= q/p2

F. Característica

F. Generatriz de momentos

x(t)=E[eitx]=p/(1- e it)

gx(t)= E[etx]= p/(1- e t)

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA O DE PASCAL
NB(p,k) cumple con los supuestos de Bernoulli
X  número de repeticiones necesarias hasta observar k éxitos.
Función Cuantía

 x 1 k
x k
P(X x )  f (x )   p (1  p)
 k 1 

Momentos:
Media = E[x]= k/p

Varianza Var(x)= k/p(1/q)

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA O DE PASCAL
XNB(p,k)
Para tratar aun paciente de una afección de pulmón han de ser
operados en operaciones independientes sus 5 lóbulos
pulmonares. La técnica a utilizar es tal que si todo va bien, lo
que ocurre con probabilidad de 7/11, el lóbulo queda
definitivamente sano, pero si no es así se deberá esperar el
tiempo suficiente para intentarlo posteriormente de nuevo. Se
practicará la cirugía hasta que 4 de sus 5 lóbulosfuncionen
correctamente. ¿Cuál es el valor esperado de intervenciones que
se espera que deba padecer el paciente? ¿Cuál es la probabilidad
de que se necesiten 10 intervenciones?

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA O DE LAPLACE
H(N,n,P)
NO verifica los supuestos de Bernoulli, la probabilidad de éxito
no permanece constante.
X  número de elementos que pertenecen a una de las
subpoblaciones cuando tomamos...

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