Distribucion

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Función generadora de momentos
En probabilidad y estadística, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria X es

siempre que esta esperanza exista.
La función generadora de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de t = 0, permite generar los momentos de la distribución deprobabilidad:

Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad.[cita requerida]
Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la propia función generadora no siempre existen, porque las integrales que los definen no son siempre convergentes. Por el contrario, la funcióncaracterísticasiempre existe y puede usarse en su lugar.
De forma general, donde  es un vector aleatorio n-dimensional, se usa  en lugar de :

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[editar]Cálculo
Si X tiene una función de densidad continua, f(x), entonces la función generadora de momentos viene dada por

donde  es el i-ésimo momento.  es, precisamente, la transformada bilateral deLaplace de f(x).
Independientemente de que la distribución de probabilidad sea continua o no, la función generadora de momentos viene dada por la integral de Riemann-Stieltjes

donde F es la función de distribución.
Si X1, X2, ..., Xn es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente idénticamente distribuidas) y

donde las ai son constantes, entonces la función de densidadde Sn es la convolución de la función de densidad de cada una de las Xi y la función generadora de momentos para Sn viene dada por

Para variables aleatorias multidimensionales X con componentes reales, la función generadora de momentos viene dada por

donde t es un vector y  es el producto punto.
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[editar]Relación con otras funciones
Hayuna serie de transformadas relacionadas con la función generadora de momentos que son comunes en la teoría de probabilidades:
Función característica
La función característica  está relacionada con la función generadora de momentos via  La función característica es la función generadora de momentos de iX o la función generadora de momentos de Xevaluada en los ejes imaginarios.
Función generadoraacumulada
La función generadora acumulada está definida como el logaritmo de la función generadora de momentos; hay quien define la función generadora acumulada como el logaritmo de la función característica, mientras que otros llaman a esta función lasegunda función generadora acumulada.
Función generadora de probabilidad

Variables aleatorias discretas

Definición 3.3   Se dice que unavariable aleatoria es discreta si toma un numero finito o a lo más numerable de valores:

En este caso la ley de la variable aleatoria  es la ley de probabilidad sobre el conjunto de los valores posibles de  que asocia la probabilidad  al singleton .
En la práctica el conjunto de los valores que puede tomar  es  o una parte de . 

Determinar la ley de una variable aleatoria discreta es:
1.Determinar el conjunto de los valores que puede tomar .
2. Calcular  para cada uno de estos valores .

Punto de vista frecuentista. 
Recordemos que el único sentido práctico que le podemos dar a la idea de probabilidad es el de un límite de frecuencias experimentales. Este es también el sentido que hay que dar a la noción de ley discreta. Repetimos  veces, en forma independiente, elexperimento aleatorio del cual como resultado medimos . Se obtiene así una -tupla  de variables aleatorias independientes de misma ley que  (esto se llama una muestra). A partir de esta -tupla podemos calcular las frecuencias experimentales de los eventos ``'' :

Según la Ley de los Grandes Números, esta frecuencia debe converger a . Para todo  las frecuencias experimentales  definen una ley de...