Distribuciones de probabilidad

Variables aleatorias Discretas.
Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de X finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es el sumatorio de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

Y, tal comocorresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde  hasta el valor x.
Ejemplos:
-Número de hijos en una familia
-Número de autos vendidos en un mes
-Número de accidentes de tránsito en un día

Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire. Los sucesos elementales del experimento,<<que salga cara>>, <<que salga cruz>>, no vienen representados por los números, por lo que casa suceso elemental se le hace corresponder un número real. Así al suceso elemental <<que salga cara>> se le hace corresponder el número “1” y al suceso elemental <<que salga cruz>> se le hace corresponder el número “2”.
La variable aleatoria será: X =(1,2).

Se trata de una variable aleatoria discontinua o discreta, ya que únicamente puede adoptar los valores 1 y 2.

Variables aleatorias Continuas.
Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo quetenemos entonces que:

Ejemplos.
-Temperatura ambiente
-Presión atmosférica

Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio consistente en medir la altura que es capaz de saltar cada miembro de un conjunto de personas. En este experimento, cada miembro del conjunto observado da lugar a un número, por lo que se toma como variable aleatoria el conjunto de las medidas de las alturas que son capaces desaltar las distintas personas.
En el supuesto que una persona hubiera saltado 105 cm y otra 106 cm, no existiría ninguna razón para que otra no hubiera saltado un valor intermedio cualquiera entre las dos anteriores, como 105.5 cm. Se trata de una variable aleatoria continua.

Distribución de Probabilidad
Dada una variable aleatoria todos son puntos , su función de distribución, , es

Porsimplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice  y se escribe, simplemente, .
Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento.
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho sucesoocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de valores de la variable aleatoria.
Propiedades:
Como consecuencia casi inmediata de la definición, la función de distribución:
* Es una función continua por la derecha.
* Es una función monótona no decreciente.
Además, cumple

y

Para dos números reales cualesquiera a y b talque (a < b), los sucesos  y  son mutuamente excluyentes y su unión es el suceso , por lo que tenemos entonces que:

y finalmente

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución F(x) para todos los valores de la variable aleatoria x conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable.

Distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria discreta mas utilizadas:binomial, Poisson y hipergeometrica.
Hipergeométrica.
Definición.
En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x ()...