Distribuciones

5.2 DISTRIBUCIONES MUESTRALES


Corresponden a una distribución de todas las muestras que pueden ser escogidas conforme a un esquema de muestreo especificado; en general se refiere a un esquema de muestreo que implique selección al azar y a una función de un número fijo de variables aleatorias independientes.

De una población a estudiar, se selecciona una sola muestra de todas lasmuestras posibles de igual tamaño, con el fin de obtener conclusiones sobre la población. Por lo tanto, sólo interesa establecer conclusiones sobre una población, no sobre la muestra.

La selección de las unidades que van a conformar la muestra debe hacerse al azar, mediante un generador de números aleatorios, usando cualquier método: sorteo, tablas de números aleatorios, sistemático, calculadora, ocomputador.

Se presentan a continuación cuatro tipos de distribución:
a. Distribución de medias muestrales.
b. Distribución muestral de una proporción
c. Distribución de diferencias entre dos medias muestrales.
d. Distribución de diferencias entre dos proporciones muestrales.

Distribución de medias muestrales

Simbología que será utilizada:

Población Muestra
Media aritmética 
Varianza2 s2
Desviación típica  s
Tamaño N n

Teorema. Dada una población, si extraemos todas las muestras posibles de un mismo tamaño, entonces la media de la distribución de todas las medias muestrales posibles será igual a la media poblacional.

Si consideramos una población de N elementos, con media  y desviación típica , si se obtienen M número de muestras posibles, detamaño n, simbolizamos a cada media muestral por: y cada desviación típica muestral por:

Simbolizamos la media de todas las medias muestralespor , la cual será igual a la media poblacional .

La varianza de todas las medias muestrales se simboliza por 2 y el error estándar será igual

Siendo (para muestras grandes o sea n>30 y se denomina: error estándar de la media)

La media de todaslas medias muestrales debe ser exactamente igual a la media poblacional (), debido a que la distribución de muestreo resultad de todas las muestras posibles que se pueden extraer de una población por tal razón incluye a todos sus elementos. De ahí, que calcularla es un método indirecto para obtener .

Expliquemos lo anterior mediante un pequeño ejemplo. Supongamos una población de 5 elementos (N= 5) y los valores que toma la variable, arbitrarios, ya sean kilómetros, metros, valores, etc.




N = 5; siendo: X1 = 7 X2 = 3 X3 = 5 X4 = 8 X5 = 2

Con los anteriores valores se puede calcular la media, la varianza y desviación típica poblacional.

 = 25 / 5 = 5 2= 151-5 (25) / 5 = 5,2  = √5,2 = 2,28

Teoría del límite central. Se cumple, cuando independientemente dela población origen, la distribución de las medias aleatorias se aproximan a una distribución normal a medida que el tamaño de la muestra crece. Se podrá decir también., que si las muestras provienen de una población que no es normal, es de importancia tener en cuenta el tamaño de la muestra. Si el tamaño muestral es pequeño, la distribución obtenida de sus medias muestralestendrán uncomportamiento similar al de la población de donde se extrajeron. Por el contrario, si el tamaño muestral es grande el comportamiento de estas medias muestrales será igual al de una distribución normal independientemente de la población de donde fueron extraídas.

En su forma más simple el teorema indica que, si n variables aleatorias independientes tienen varianzas finitas, su suma, cuando se leexpresa en medida estándar, tienden a estar normalmente distribuidas cuando n tiende a infinito. Se debe observar que ninguna de las varianzas sea grande comparada con el total.

De acuerdo al teorema anterior, la variante estadística para distribuciones de medias muestrales será:

Z =

Para la cual consideraremos que se aproxima a una distribución normal.


Ejemplo 1.

La altura media de 400 alumnos...