Distribución continua





Distribución Continua.
Una función de densidad de probabilidad continua es una expresión matemática que define la distribución de los valores para una variable continua.
La variable x puede tomar un conjunto continuo de valores. El polígono de frecuencia relativa de una muestra se convierte, en el vaso teórico o límite de una población, en una curva continua, cuya ecuación es .Figura 1.1

El área total bajo esta curva, y sobre el eje X, es igual a 1, en tanto que el área bajo la curva entre las líneas y de la probabilidad de que X este entre a y b que puede denotarse
.

Se llama a p(x) una función de densidad de probabilidad o, de forma breve; cuando dicha función está dada, se dice que se ha definido una distribución de
Probabilidad continua para X. Entonces,la variable X se denomina variable aleatoria continua.

A continuación se muestran los tres tipos de distribuciones continuas las cuales son; Distribución normal, Distribución uniforme Distribución exponencial.

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL.
La distribución normal es simétrica y con forma de campana, lo que implica que la mayoría de los valores tienden a agruparse alrededor de la media, la cual,por su forma simétrica, es igual a la mediana. Aunque des del punto de vista teórico los valores en una distribución normal pueden clasificarse del infinito negativo al infinito positivo, la forma de la distribución hace poco posible que ocurran valores extremadamente grandes o muy pequeños.

La distribución normal (en ocasiones llamada distribución gaussiana) es la distribución continua que seutiliza más comúnmente en estadística. Su altura máxima se encuentra en la media aritmética , es decir su ordenada máxima corresponde a una abscisa igual a la media aritmética. La asimetría de la curva es nula y por su grado de apuntamiento.
Ecuación
Su ecuación matemática de la función de densidad es:







DISTRIBUCION UNIFORME.
Es una distribución en el intervalo [a, b] en la cuallas probabilidades son las mismas para todos los posibles resultados, desde el mínimo de a hasta el máximo de b. El experimento de lanzar un dado es un ejemplo que cumple la distribución uniforme, ya que todos los 6 resultados posibles tienen 1/6 de probabilidad de ocurrencia.

1. Función de densidad de una distribución uniforme (altura de cada rectángulo en la gráfica anterior) es:



Dónde:a = mínimo valor de la distribución
b = máximo valor de la distribución
b – a = Rango de la distribución


2. La media, valor medio esperado o esperanza matemática de una distribución uniforme se calcula empleando la siguiente fórmula :



3. La varianza de una distribución uniforme se calcula empleando la siguiente fórmula:



De donde la desviación estándar es
4. Laprobabilidad de que una observación caiga entre dos valores se calcula de la siguiente manera:


Ejemplo ilustrativo:

Sea X el momento elegido al azar en que un estudiante recibe clases en un determinado día entre las siguientes horas: 7:00 - 8:00 - 9:00 - 10:00 - 11:00 - 12:00 - 13:00

1) ¿Cuál es la función de densidad de la variable X?
2) Elaborar un gráfico de la distribución deprobabilidades
3) Calcular el valor medio esperado
4) Calcular la desviación estándar
5) Calcular la probabilidad de que llegue en la primera media hora
6) Si recibe clases de Estadística Aplicada de 10:00 a 12:15, calcular la probabilidad de recibir esta asignatura.

Solución:

1) a = 7 y b = 13


Reemplazando valores en la ecuación de la función de densidad se obtiene:


2) Elaborandoel gráfico de la distribución de probabilidad empleando Excel se obtiene:







Interpretación:
Cada rectángulo tiene 1 de base y 1/6 = 0,167 de altura.
El área de cada rectángulo es:



El área total (rectángulo de base el intervalo 7-13 y altura 1/6=0,167) representa a la suma de todas las probabilidades, y es igual a uno:

3) Reemplazando valores en la fórmula del valor...