Distribucion continua de cargas

1. Sobre una gran hoja de papel se distribuye una carga, suponga que la cantidad de carga por unidad de área es σ. Calcule el campo eléctrico en el espacio que hay sobre y debajo de la hoja.Solución:

Podemos analizar el campo eléctrico en el punto p debido a la distribución continua de carga que hay en la hoja de papel, seccionando la hoja en anillos de radio r y ancho dr.
Debido a lasimetría que hay en el eje x podemos observar que el campo eléctrico de la distribución de carga solo se encontrara sobre el eje y, además tomamos la distancia que separa al dq del punto p como L.Desarrollo:
E=kqL2→ Ey=Esenθ
L=y2+r212
senθ=yL=yy2+r212
dq=QA=dqda→dq=σda; a=2πrdr→dq=σ2πrdr
dEy=kdqy2+r2yy2+r212=dEy=kyσ2πrdry2+r232=dEy=kyσ2πrdry2+r232Ey=14πε0yσ2π0∝rdry2+r232=14πε0yσ2π0∝rdry2+r2-32dr

Ahora nos queda una integral por sustitución:
U=y2+r2→dU=2rdr→dr=dU2r
0∝rU- 32dU2r=0∝12U-32dU→12U-12-12=-U-12=-1U12
Ey=14πε0yσ2π-1y2+r2120∝=Ey=yσ2ε0-1y2+∝212--1y2+0212
Ey=yσ2ε00--1y→Ey=yσ2ε0y→Ey=σ2ε0Con esto podemos decir que el campo eléctrico en p es constante y solo depende del área de la hoja y la carga que contenga, además su dirección es alejándose de la hoja si la distribución es positiva,pero si la distribución es negativa su dirección es hacia la hoja y debido a que el punto p que hay debajo de la hoja se encuentra a la misma distancia que el de arriba el campo será el mismo pero conla dirección de las y negativas.
2. Sobre una esfera hueca se distribuye una carga uniformemente, suponga que la cantidad de carga por unidad de volumen es ρ, calcule el campo eléctrico por laley de Gauss en:
a. El punto p fuera del diámetro de la esfera (r>b)
b. El punto p en el interior de la esfera (r<a)
c. El punto p entre a y b (a<r<b)
Solución:

a. Para laprimera situación donde p se encuentra fuera del diámetro del cascaron (r1>b) tenemos:

Por la ley de GaussE.dA=qnϵ0→E.dAcos00=E.dA
Como E es constante podemos sacarlo de la...