Divergencia y rotacional

2.8. Rotacional y Divergencia de un campo vectorial F y sus propiedades. 2.8.1. Rotacional: Definición y propiedades.
Definición. Sea F un campo vectorial dado por
F : D ⊂ ℜ3 → ℜ3 / F ( x, y, z ) =( F1 ( x, y, z ) , F2 ( x, y, z ) , F3 ( x, y, z ) ) , donde F1 , F2 y F3

tienen derivadas parciales continuas en alguna región R. El rotacional del campo F está dado por  ∂F ∂F  ˆ  ∂F ∂F  ∂F ∂F  ˆ rot ( F ) = ∇ × F =  3 − 2  i +  1 − 3  ˆ +  2 − 1  k j ∂z   ∂z ∂x   ∂y  ∂x ∂y 

Para recordar mejor el vector del rotacional de F, se puede considerar el desarrollo del siguientedeterminante

ˆ i ∂ rot ( F ) = ∇ × F = ∂x F1

ˆ j ∂ ∂y F2

ˆ k ∂  ∂F3 ∂F2  ˆ  ∂F1 ∂F3  ˆ  ∂F2 ∂F1  ˆ = − − j+ − i + k ∂z  ∂y ∂z   ∂z ∂x     ∂x ∂y  F3

Propiedades delRotacional. 1. Si el campo escalar f ( x, y, z ) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden

entonces el rot ( ∇f ) = 0 .
2. Si F ( x, y, z ) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F ) = 0 . 3. Si el campo vectorial F ( x, y, z ) es una función definida sobre todo ℜ3 cuyas

componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot ( F ) = 0 entonces F es un campo vectorialconservativo. El rotacional de un campo vectorial tiene su principal interpretación física cuando la función vectorial F ( x, y, z ) representa el flujo de un fluido, el rotacional en este caso seinterpreta como la circulación que presenta el fluido alrededor de un punto ( x0 , y0 , z0 ) .

Si el campo vectorial F representa el flujo de un fluido y rot ( F ) = 0 entonces se dice que el fluido esirrotacional.
EJEMPLO 63. Sea el campo vectorial F ( x, y, z ) = ( 0, cos ( xz ) , − sen ( xy ) ) determine

su rotacional.
Solución. Al aplicar la definición del rotacional se obtiene elsiguiente vector que lo

representa
 ∂ ˆ  ∂  ∂ ˆ ∂ ∂ ∂  rot ( F ) =  ( − sen ( xy ) ) − ( cos ( xz ) )  i +  ( 0 ) − ( − sen ( xy ) )  ˆ +  ( cos ( xz ) ) − ( 0 )  k j ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y  ...