divergencia y rotacional

2.8. Rotacional y Divergencia de un campo vectorial F y sus propiedades.
2.8.1. Rotacional: Definición y propiedades.
Definición.

Sea

F

un

campo

vectorial

dado

por

F : D ⊂ ℜ3 → ℜ3 / F ( x, y,z ) = ( F1 ( x, y, z ) , F2 ( x, y, z ) , F3 ( x, y, z ) ) , donde F1 , F2 y F3

tienen derivadas parciales continuas en alguna región R. El rotacional del campo F está
dado por
 ∂F ∂F   ∂F ∂F 
∂F ∂F 
rot ( F ) = ∇ × F =  3 − 2  iˆ +  1 − 3  ˆj +  2 − 1  kˆ
∂z   ∂z ∂x 
 ∂y
 ∂x ∂y 

Para recordar mejor el vector del rotacional de F, se puede considerar el desarrollo delsiguiente determinante

iˆ
∂
rot ( F ) = ∇ × F =
∂x
F1

ˆj
∂
∂y
F2

kˆ
∂  ∂F3 ∂F2  ˆ  ∂F1 ∂F3  ˆ  ∂F2 ∂F1  ˆ
=
−
−
j+
−
i +
k
∂z  ∂y
∂z   ∂z ∂x 
 ∂x ∂y 
F3

Propiedades del Rotacional.
1. Siel campo escalar f ( x, y, z ) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden
G
entonces el rot ( ∇f ) = 0 .
G
2. Si F ( x, y, z ) es un campo vectorial conservativo entonces rot ( F ) = 0 .
3.Si el campo vectorial F ( x, y, z ) es una función definida sobre todo ℜ3 cuyas
G
componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot ( F ) = 0 entonces F es un

campo vectorial conservativo.El rotacional de un campo vectorial tiene su principal interpretación física cuando la
función vectorial F ( x, y, z ) representa el flujo de un fluido, el rotacional en este caso se
interpreta como lacirculación que presenta el fluido alrededor de un punto ( x0 , y0 , z0 ) .

G
Si el campo vectorial F representa el flujo de un fluido y rot ( F ) = 0 entonces se dice

que el fluido esirrotacional.
EJEMPLO 63. Sea el campo vectorial F ( x, y, z ) = ( 0, cos ( xz ) , − sen ( xy ) ) determine

su rotacional.
Solución. Al aplicar la definición del rotacional se obtiene el siguiente vector quelo

representa
 ∂
  ∂
 ∂

∂
∂
∂

rot ( F ) =  ( − sen ( xy ) ) − ( cos ( xz ) )  iˆ +  ( 0 ) − ( − sen ( xy ) )  ˆj +  ( cos ( xz ) ) − ( 0 )  kˆ
∂
y
∂
z
∂
z
∂
x
∂
x
∂
y


 


ˆ
ˆ
ˆ...