Divergencia

Teorema de la divergencia
En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradsky, teorema que relaciona el flujo de uncampo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie.
Es un resultado importante en física, sobre todoen electrostática y en dinámica de fluidos. Desde el punto de vista matemático es un caso particular del teorema de Stokes.
Enunciado
Sean y dos subconjuntos abiertos en donde essimplemente conexo y el borde de , es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.
Sea , un campo vectorial de clase , es decir, cuenta con derivadas parciales de primer ordencontinuas.
Entonces:

donde el vector normal a la superficie apunta hacia el exterior del volumen .
Este resultado es una consecuencia natural del Teorema de Stokes, el cualgeneraliza el Teorema fundamental del cálculo. El teorema fue enunciado por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1835, pero no fue publicado hasta 1867. Debido a la similitudmatemática que tiene el campo eléctrico con otras leyes físicas, el teorema de Gauss puede utilizarse en diferentes problemas de física gobernados por leyes inversamente proporcionales alcuadrado de la distancia, como la gravitación o la intensidad de la radiación. Este teorema recibe el nombre de ley de Gauss y constituye también la primera de las ecuaciones deMaxwell.

Ejemplo de aplicación

Esfera de radio 2.
Calcular el flujo del campo vectorial a través de la superficie esférica
Resolución. A partir de la ecuación de la esfera se sabeque el radio es . Entonces:

Aplicando el teorema de la divergencia tenemos:

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