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División euclídea

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En matemáticas, y más precisamente en la aritmética, la división euclidiana (o euclídea),también llamada algoritmo de la división, es un teorema que asegura que «el proceso habitual de división entre números enteros» puede llevarse a cabo y que el resultado, además, es único.
Un «algoritmo de división entera» es cualquier método efectivo que produce un cociente y un residuo. Existen numerosos métodos para efectuar estos cálculos, como por ejemplo la división larga, la factorización deenteros o la aritmética modular. El algoritmo de la división euclídea (para números enteros) se encuentra a la base de numerosos resultados de la aritmética (como por ejemplo el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos enteros) y la teoría de números; en álgebra abstracta, está relacionado con el dominio euclídeo.
Índice
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1 División euclídea de númerosnaturales
1.1 Ejemplos
2 Teorema: Algoritmo de la división
2.1 División euclídea en los números naturales
2.2 División euclídea en los números enteros
3 Propiedades
4 División de polinomios
5 Véase también
6 Bibliografía
División euclídea de números naturales [editar]
Dados dos números naturales, el dividendo, m, y el divisor, d, que debe ser mayor que cero, llamamos cociente, q al mayor delos números que multiplicado por el divisor es menor o igual que el dividendo.

Llamamos resto, r, a la diferencia entre el dividendo y el producto del cociente y el divisor.

El resto verifica la inecuación  .
De la ecuación anterior, se deduce inmediatamente la siguiente:


Ejemplos [editar]









lo que significa que , con .
Teorema: Algoritmo de la división [editar]División euclídea en los números naturales [editar]
Dados dos números naturales a y b, con b distinto de 0, la división euclídea asocia un cociente q y un resto r, ambos números naturales, que verifican:


La pareja (q, r) es única.
De manera formal:

 [Mostrar] Teorema de la división euclídea para los números naturales
División euclídea en los números enteros [editar]
Dados dos númerosenteros a y b, con b no nulo, la división euclídea asocia un cociente q y un resto r, ambos números enteros, que verifican:


De manera formal:

 [Mostrar] Teorema de la división euclídea para los números enteros
Propiedades [editar]
Por el algoritmo de la división se deduce que  es un dominio euclídeo tomando como norma el valor absoluto. Una consecuencia inmediata del algoritmo de la divisiónes que puede usarse elalgoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos números enteros.
Un concepto que generaliza el algoritmo de la división es el de norma euclídea. De este modo cualquier dominio euclídeo cumple con un principio similar al algoritmo de la división, como es el caso, por ejemplo, de un anillo de polinomios  en que  es un cuerpo.
División de polinomios [editar]Artículo principal: División polinomial.
La división euclidiana se generaliza a todos los anillos graduados, es decir en los anillos donde existe una función llamada grado que verifique: d o(P·Q) = d o(P) + d o(Q).
Los ejemplos más usuales lo constituyen los anillos de polinomios K[X], donde K es un cuerpo, como R o C, y donde d o(Xn) = n y d o(0) = - ∞. En este contexto, se remplaza lacondición 0≤ r  0
(4) Si b = 0, entonces a = nb = n0 = 0, luego a = †b. Si b = 0, como 6 a j b, por
(3), 0 < jaj ” jbj. Analogamente, 0 < jbj ” jaj. Luego jaj = jbj y a = †b. ƒ
El teorema m´as importante sobre divisibilidad es:
Teorema 1.4. El Algoritmo de la Divisi´on.
Sean a y b dos enteros, b > 0. Entonces existen dos enteros q y r tales que a = bq+r
y 0 ” r < jbj. Los enteros q y r...