Diferencias divididas

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Introducción 1. Diferencias divididas
1.1 Tabla Nº1. | 3
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2. Formula de las diferencias divididas interpolantes de Newton.2.1 Teorema | 7
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3. Formula de las diferencias progresivas de Newton.Bibliografía. | 910 |
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Introducción.

El tema de nuestra exposición y respectivamente del presente informe es ladiferenciación dividida y sus aplicaciones con métodos de Newton, también queremos mostrar las modificaciones que se desarrollaron tomando como referencias métodos planteados anteriormente para hacer que los procesos de iteración sean menores y con un mayor grado de convergencia en la búsqueda de aproximaciones a una función.

Se puede ver que este método intenta realizar iteraciones másexactas empleado métodos como el polinomio de Langrange, valor intermedio, Polinomio de Taylor y una serie aplicaciones que Newton desarrollo para que el proceso pudiera desarrollarse con nodos distintos sin que el proceso se convirtiera tan tedioso y demorado luego en el polinomio de Langrange no era muy apropiado luego si nos ayuda a resolverlo pero el proceso es lento y en muchas ocasiones tocareestructurarlo para que pueda funcionar.

Aunque muchos textos consideren este procedimiento como no muy útil y en efecto no profundicen tanto en el, se puede ver que es interesante por el grado de convergencia que tiene y sobre todo por la utilidad que representa en muchas maquinas y diseños de satélites para las telecomunicaciones, además que estudiarlo nos ayuda para identificar elfuncionamiento sistemático de varias herramientas que son empleadas en la ingeniería y que muchas veces no conocemos.

1. Diferencias divididas

El método dado para calcular el polinomio de Lagrange relativo a los nodos x0;…..xn ; y a los valores x0;…..; xn es complicado y obliga a rehacer todos los cálculos si se añade algún nodo nuevo.

Basados en el polinomio de Lagrange vemos que Pn x en x0queda solo el término constante a0, es decir,

a0 = Pn x0=f (x0)

De manera similar cuando se evalúa P(x) en x1, los únicos términos no cero en la evaluación de Pn x1 son los términos constante y lineal,

fx0+ a1x1- x0= Pnx1= fx1

Así que,

Ecuación 1.

a1=f(x1)- f(x0)x1-x0

Vamos a presentar un nuevo método para el cálculo del polinomio de Lagrange que evita estos problemas. Paraello definiremos las diferencias divididas de la siguiente forma:

Ecuación 2.

fxi;xi+1=fxi+1- f[xi]xi+1-xi

La segunda diferencia dividida se define como:

f xi;xi+1;xi+2= xi+1;xi+2- [xi;xi+1]xi+2- xi

La k-ésima diferencia dividida relativa a xi;xi+1;….. ;xi+k está dada por:

fxi;xi+1;..;xi+k= fxi+1;.. ;xi+k-f[xi;.. ;xi+k-1]xi+2- xi

Con esta notación basado en el polinomiode Lagrange, podemos re expresar la ecuación numero 1; como a1=f [ x0, , x1 ] y el polinomio interpolante de Lagrange.

Pn x= fx0 + fx0 , x1x- x0+ a2x- x0x- x1+..+an x- x0x- xn-1

Como cabe suponer tras evaluar a0 y a1 las constantes requeridas son:

ak =f [x0,x1,x2,…..xk ]

Para cada k = 0, 1,2….., n por tanto, podemos reescribir Pn x como:

Ecuación 3.

Pn x=fx0 +k=1nf[x0,x1,…..xk ]x-x0…..x-xk-1

En la siguiente tabla se muestra la ecuación que se le conoce con el nombre de formula de diferencias divididas interpolantes de newton. A continuación se describe esquemáticamente la determinación de las diferencias divididas obtenida de los puntos de datos tabulados. Con estos datos también es posible determinar dos cuartas diferencias y una quinta diferencia.

1.1Tabla Nº1. Determinación de las diferencias divididas obtenida de los puntos de datos tabulados

f(x) | Primeras diferencias divididas | Segundas diferencias divididas | Terceras diferencias divididas. |
x0 fx0 | | | |
| fxo,x1=fx1- f[x0]x1-x0 | | |
x1 fx1 | | fxo,x1,x2,=fx1, x2- f[x0,x1,]x2-x0 | |
| fx1,x2=fx2- f[x1]x2-x1 | | fx0,x1,x2,x3,=fx1,x2, x3- f[x0,x1,x2,]x3-x0 |...
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