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EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

UN POCO DE HISTORIA: UN NIÑO LLAMADO GAUSS
Hace poco más de dos siglos, un maestro alemán que quería paz y tranquilidad en su clase propuso a sus alumnos que calcularan la suma de los números del 1 al 100.

A Carl Friedrich Gauss (10 añitos) se le ocurrió lo siguiente, en primer lugar escribió la suma de los1000 números en el orden normal:

1+2+3+………………………+98+99+100. Después escribió la suma al revés
100+99+98+………………………+3+2+1

Y después fue sumando el número de arriba con el correspondiente de debajo
1 + 2 + 3 +………………………+ 98 + 99 + 100
100 + 99 + 98 +………………………+ 3 + 2 + 1

101 + 101 +101+………………….. +101 + 101+ 101

Se dio cuenta que todas las parejassumaban 101, por tanto el resultado de la suma que tenemos planteada será 101x100, como en esta suma hemos calculado el doble de la cantidad que queríamos, tendremos entonces que la suma de los números del 1 al 100 será: 101⋅100 ’ 5050
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Carl Friedrich Gauss fue un famoso matemático y astrónomo alemán (1777-1855).


PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar el vigésimotérmino de la progresión aritmética: -15, -12, -9, -6, ... a1 = -15 ; d = -12 – (-15) = -12 + 15 = 3; n = 20; an = ?
an = a1 + (n – 1) d a20 = -15 + (20 – 1) 3
= -15 + 57 = 42

a20 = 42

2. La suma de los cuatro primeros términos de una PA creciente es 56 y el término mayor es20. Escribe esos cuatro términos.
Como a4 = 20, S4 = 56 y n = 4. se tiene:
a + a a + 20 56 ⋅ 2
S ’ ⋅ n → 56 ’ ⋅ 4 → ’ a

+ 20 → 28 ’ a

+ 20 , de donde: a

= 8.
n 2 2 4 1 1 1
Por otro lado an = a1 + (n – 1) · d, entonces se tiene:

20 = 8 + (4 – 1)d ; d =
20 − 8 ’ 4
2Solución: los cuatro primeros términos son: 8, 12, 16, 20


3. Conociendo que en una PA el término a100 = 199 y que la suma de los 100 primeros términos es 10.000, calcular el primero y la diferencia.

a100 = 199; n = 100; S100 = 10.000; a1 = ?; d = ?


a + a a +199 10000 ⋅ 2
S ’ ⋅ n → 10000 ’ ⋅100 → ’ a+ 199
n 2 2 100 1
200 = a1 + 199; a1 = 1

an ’ a1 + (n −1) ⋅ d → a100 ’ a1 + (100 −1) ⋅ d
199 = 1 + (100 – 1) · d → 198 = 99d → d = 2.



























5. Calcular la suma de los doce primeros términos de una PA de diferencia 4, sabiendo que el primerovale 7.

a1 = 7; n = 12; S12 = ?

an ’ a1 + (n −1) ⋅ d → a12 ’ a1 + (12 −1) ⋅ d → a12 ’ 7 +11⋅ 4 ’ 51
199 = 1 + (100 – 1) · d → 198 = 99d → d = 2.

a + a
S ’ ⋅ n → S
a + a 7 + 51
’ ⋅12 ’ ⋅12 ’ 348
n 2 12
2 2
S12 =348


6. Calcular la suma de los nprimeros términos de una PA, cuyo primer término es 4 y cuya diferencia es 3, sabiendo que el término n es 40.

Sn = ?; n = ?; a1 = 4; an = 40; d = 3

an ’ a1 + (n −1) ⋅ d → an ’ 4 + (n −1) ⋅ 3 → 40 ’ 4 + 3n − 3 → 40 − 4 + 3 ’ 3n
De donde n=13

a + a
S ’ ⋅ n → S
a + a 4 + 40
’ ⋅13 ’ ⋅13 ’ 286n 2 13
2 2
S13 =286


7. Conociendo el primer término de una PA. 3 y el doce 25, determinar la diferencia y la suma de los doce primeros.

Sn = ?; n = 12; a1 = 3; a12 = 25; d = ?

an ’ a1 + (n −1) ⋅ d → a12 ’ a1 + (12 −1) ⋅ d → 25 ’ 3 +11d → 25 − 3 ’ 11d → 22 ’ 11d → d = 2.

a + a
S ’ ⋅ n → S
a +...