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Numeros reales:
 La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. .El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en ,   y   es unconjunto totalmente ordenado. Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.  Muchas de las propiedades quehemos visto para los conjuntos   e  son heredadas por . Como ya se ha visto,  es denso en  . También  es denso en . Podemos considerar  como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyostérminos son números racionales.  A diferencia de lo visto para ,  y , el conjunto de los reales no es numerable.

Números racionales:
Si se necesita además dividir, surgen los númerosracionales (o fraccionarios, o quebrados),
={... 1/2,  5/3,  8/10,  238476/98745, ...... } |
* Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la multiplicación.
* La suma de dosracionales a/b y c/d se define como a/b+c/d=(ad+cb)/bd.
* El producto de dos racionales a/b y c/d se define como ac/bd.
* Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y sólo siad=bc. 

   (En todo lo anterior, a, b, c y d denotan números enteros) 
* Un número racional se dice que está expresado mediante una fracción irreducible si el numerador y el denominador no tienenfactores comunes.
De este modo, el conjunto de los racionales, con las operaciones de suma y producto tiene estructura de cuerpo conmutativo.

Números irracionales:
Hay números que no sonracionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. Por ejemplo, piensa en el número cuya representación decimal es
0.1234567891011121314151617181920........
claramente,esta representación decimal no es exacta ni periódica, por tanto no puede corresponderse con ningún número racional.
Números naturales:

Los números naturales surgen de la necesidad de...