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Condicional material
El condicional material, también conocido como implicación material, condicional funcional de verdad o simplemente condicional, es una constante lógica que conecta dos proposiciones. El condicional material intenta ser la versión formal del condicional en el lenguaje natural, el cual se expresa por medio de palabras como las siguientes:
Si llueve, entonces voy al cine.
Voyal cine si llueve.
Cuando llueve, voy al cine.
Simbólicamente, el condicional material se suele denotar de las siguientes maneras:
A \to B \,
A \supset B, y en ocasiones:
A \Rightarrow B \,
Donde A y B son proposiciones cualesquiera. Las variables A y B se conocen respectivamente como el antecedente y el consecuente del condicional.
En lógica proposicional, el condicional material es unafunción de verdad binaria, que devuelve falso cuando A es verdadera y B es falsa, y devuelve verdadero en cualquier otro caso. En lógica de predicados, puede ser visto como una relación de subconjunto entre la extensión de predicados (posiblemente complejos).
Índice [ocultar]
1 Definición
1.1 Propiedades formales
2 Diferencia entre el condicional material y la implicación lógica
2.1 Ejemplo3 Problemas filosóficos en torno al condicional material
4 Véase también
5 Referencias
5.1 Bibliografía
6 Enlaces externos
Definición[editar]

El condicional material es una función de verdad que toma dos valores de verdad (por lo general los valores de proposiciones) y devuelve falso cuando el primer valor es verdadero y el segundo falso, y verdadero en cualquier otro caso.
En otraspalabras, la tabla de verdad del condicional material es la siguiente:
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
A & B & A \Rightarrow B \\
\hline
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\hline
\end{array}
Como se ve, el condicional material devuelve 0 (falso) sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso. En todos losdemás casos, devuelve 1 (verdadero).
Propiedades formales[editar]
Algunas de las propiedades formales del condicional material son:
Distributividad: (A \Rightarrow (B \Rightarrow C)) \Rightarrow ((A \Rightarrow B) \Rightarrow (A \Rightarrow C)) \,
Transitividad: (A \Rightarrow B) \Rightarrow ((B \Rightarrow C) \Rightarrow (A \Rightarrow C)) \,
Conmutatividad: A \Rightarrow (B \Rightarrow C)) = (B\Rightarrow (A \Rightarrow C)) \,
Idempotencia: A \Rightarrow A \,
Preservación de la verdad: La interpretación en virtud del cual todas las variables se les asigna un valor de verdad de «verdadero» produce un valor de verdad de «verdadero» como resultado de la implicación material.
Diferencia entre el condicional material y la implicación lógica[editar]



Diagrama de Venn del condicionalmaterial.


Diagrama de Venn de la implicación lógica.
El condicional material no debe confundirse con la relación de implicación lógica. Sin embargo, existe una estrecha relación entre ambos en la mayoría de los sistemas lógicos, incluyendo la lógica clásica. Por ejemplo, los siguientes principios se sostienen:
Si \Gamma \vdash A, entonces \vdash \Gamma \to A, donde A es una fórmulacualquiera y \Gamma es un conjunto de fórmulas cualquiera. Este es un caso particular del teorema de la deducción.
Si \vdash \Gamma \to A, entonces \Gamma \vdash A. Esto es un caso particular del inverso del teorema de la deducción.
Tanto el condicional material como la consecuencia lógica son monótonas. Es decir, si \Gamma \vdash A, entonces \Delta \cup \Gamma \vdash A y si A \to B \,, entonces (A\land C) \to B.
Estos principios, sin embargo, no valen en todos los sistemas lógicos. Por ejemplo, no se sostienen en las lógicas no monotónicas.
La diferencia entre el condicional material y la implicación lógica es análoga la diferencia entre la operación A^c \cup B y la operación A \subseteq B en la teoría de conjuntos.
Ejemplo[editar]
En el camino de A \subseteq B a A \cap B^c = \emptyset...