Documento 5
Páginas: 13 (3136 palabras)
Publicado: 8 de noviembre de 2015
Conceptos generales
1- Conjunto de los números enteros y sus operaciones internas
A) Concepto y composición
El conjunto de los números enteros esta formado por los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0.
El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0,+1, +2, +3, ...}, que proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas ya que pueden utilizarse para contabilizar pérdidas.
Ejemplo:
Si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100− 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.
También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero.
B) Operaciones internas
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, como puede hacerse con los números naturales.
Suma
En la suma de dosnúmeros enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.
Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:
Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.
Si ambos sumandos tienen distinto signo:
-Elsigno del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.
-El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.
Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61
La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:
La sumade números enteros cumple las siguientes propiedades:
Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.
Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.
Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
a. [ (−13) + (+25) ]+ (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
b. (−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
2. Propiedad conmutativa:
a. (+9) + (−17) = −8
b. (−17) + (+9) = −8
Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:
Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe otro entero −a, que sumado al primero resulta en cero:a + (−a) = 0.
RestaLa diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
Ejemplo:
a - b = a + (-b)
7 − 5 = 2
7 − (−5) = 7 + 5 = 12
Propiedades de la resta de números enteros
1.Interna:
a − b
10 − (−5)
2. No es Conmutativa:
a - b ≠ b - a
5 − 2 ≠ 2 − 5
Multiplicación
La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto elproducto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.
La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:
Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.
Propiedadconmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales.
Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a.
División
La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos....
1- Conjunto de los números enteros y sus operaciones internas
A) Concepto y composición
El conjunto de los números enteros esta formado por los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0.
El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0,+1, +2, +3, ...}, que proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas ya que pueden utilizarse para contabilizar pérdidas.
Ejemplo:
Si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100− 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.
También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero.
B) Operaciones internas
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, como puede hacerse con los números naturales.
Suma
En la suma de dosnúmeros enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.
Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:
Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.
Si ambos sumandos tienen distinto signo:
-Elsigno del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.
-El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.
Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61
La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:
La sumade números enteros cumple las siguientes propiedades:
Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.
Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.
Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
a. [ (−13) + (+25) ]+ (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
b. (−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
2. Propiedad conmutativa:
a. (+9) + (−17) = −8
b. (−17) + (+9) = −8
Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:
Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe otro entero −a, que sumado al primero resulta en cero:a + (−a) = 0.
RestaLa diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
Ejemplo:
a - b = a + (-b)
7 − 5 = 2
7 − (−5) = 7 + 5 = 12
Propiedades de la resta de números enteros
1.Interna:
a − b
10 − (−5)
2. No es Conmutativa:
a - b ≠ b - a
5 − 2 ≠ 2 − 5
Multiplicación
La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto elproducto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.
La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:
Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.
Propiedadconmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales.
Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a.
División
La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos....
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