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Estad´ ıstica

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Tema 6: Modelos de probabilidad.
6.1 Modelos discretos.
(a) Distribuci´n uniforme discreta: o La variable aleatoria X tiene una distribuci´n uniforme discreta de par´metro n,que denoteramos o a por U(n), si su ley de probabilidad viene dada por: SX = {x1 , x2 , . . . , xn } p(X = xi ) = 1 , para cada i = 1, 2, . . . , n. n

(b) Distribuciones definidas sobre unexperimento de Bernouilli Un experimento aleatorio se denomina de Bernouilli si verifica las tres condiciones siguientes: 1 El experimento consiste en observar elementos de una poblaci´n y clasificarlos en dos cateo gor´ ´xito y fracaso (que denominaremos E y F). ıas: e 2 Llamaremos p a la probabilidad de que un elemento est´ en E y q = 1 − p a la probabilidad e de que est´ en F. e 3 Las observaciones sonindependientes. Sobre los experimentos de Bernouilli se pueden definir varios modelos de variables aleatorias: • Distribuci´n de Bernouilli. o La variable aleatoria X que modeliza la clasificaci´n de un elemento observado en un exo perimento de Bernouilli como E ´ F, tiene una distribuci´n que llamaremos Bernouilli de o o par´metro p. Lo denotaremos por X ; B(p). Su ley de probabilidad viene dada por:a SX = {0, 1} p(X = 1) = p, Sus medidas principales son: E(X) = p V ar(X) = pq. • Distribuci´n binomial. o La variable aleatoria X que modeliza el n´mero de elementos, entre n observados que tienen u la caracter´ ıstica E, tiene una distribuci´n que llamaremos binomial de par´metros n y p. Lo o a denotaremos por X ; B(n, p); su ley de probabilidad viene dada por: SX = {0, 1, . . . , n} p(X = 0) =1 − p

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61 p(X = k) = Sus medidas principales son: E(X) = np V ar(X) = npq. Propiedades 1 i. Si X ; B(n, p), entonces X es la suma de n variables de Bernouilli independientes y de par´metro p. a ii. Si X1 , X2 , . . . , Xk son variables binomiales independientes de par´metros ni y p, i = a 1, 2, . . . , k, entonces X1 + . . . + Xk tiene distribuci´n B(n1 + . . . + nk , p). oiii. Si X ; B(n, p) entonces Y = n − X ; B(n, 1 − p). iv. La distribuci´n es sim´trica si y s´lo si p = 1 . Si p < 1 , entonces existe asimetr´ a la o e o ıa 2 2 derecha y en caso contrario hay asimetr´ a la izquierda. ıa a Observaci´n 1 – Los valores de la media y de la varianza de X se deducen f´cilmente a o partir de la propiedad (i). – La propiedad (ii) se denomina propiedad de aditividad y noes cierta en general para cualquier modelo de distribuci´n: por ejemplo, si X e Y son las variables que modelizan o el resultado de dos dados normales, ambas son uniformes discretas, pero su suma, que modelizar´ la suma de resultados, no lo es. ıa • Distribuci´n geom´trica: o e La variable aleatoria X que modeliza el n´mero de observaciones (o ensayos) necesarias para u obtener el primer ´xito enun experimento de Bernouilli, tiene una distribuci´n que llamae o remos geom´trica de par´metro p. Lo denotaremos por X ; G(p); su ley de probabilidad e a viene dada por: SX = {1, 2, . . .} p(X = k) = p(1 − p)k−1 ∀k = 1, 2, . . . Sus medidas principales son: E(X) =
1 p

n k

pk (1 − p)n−k

V ar(X) =

1−p p2

Observaci´n 2 En ocasiones conviene utilizar la variable Y que modeliza eln´mero de frao u casos necesarios hasta obtener el primer ´xito en un experimento de Bernouilli; esta variable e est´ relacionada con la anterior por la igualdad Y = X − 1; a partir de esta relaci´n se a o deduce la ley de probabilidades, media y varianza de la variable Y (calc´lalas). u • Distribuci´n binomial negativa. o La variable aleatoria X que modeliza el n´mero de ensayos necesarios para obtenerel ru ´simo ´xito, tiene una distribuci´n que llamamos binomial negativa de par´metros r y p. Lo e e o a denotaremos por X; BN (r, p). Su ley de probabilidad viene dada por: SX = {r, r + 1, . . .}

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62 p(X = k) = Sus medidas principales son: E(X) =
r p

k−1 r−1

pr (1 − p)k−r

V ar(X) =

r(1−p) p2

n Observaci´n 3 EL siguiente cuadro se˜ala las diferencias entre...