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Apuntes de Cálculo (1)

Juan Carlos Cabello Píñar
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática.

Análisis Matemático.

Curso 2006-2007

Juan Carlos Cabello Píñar
Departamento de Análisis Matemático

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Índice general
1. Números reales y funciones
1.1.

El conjunto de los números reales. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
1.1.1. Estructura algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Estructura ordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Axioma del supremo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. Valor absoluto de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.6. Expresión decimal de un número real . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.8. Conjuntos nitos e innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.9. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Funciones elementales I: Funciones racionales y exponenciales . . . . .
1.2.1.Funciones reales de variable real. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Gráca de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Función logaritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Operaciones con funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6. Función exponencial. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7. Funciones denidas a trozos. Funciones parte entera y valor absoluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8. Relación de ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Funciones elementales II: Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . .
1.3.1. El número π . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
1.3.2. Función arcocoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Funciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4. Función tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5. Funciones secante, cosecante y cotangente . . . . . . . . . . . .
1.3.6. Funciones arcoseno y arcotangente. . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.7. Identidades Trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.8. Funciones Hiperbólicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.9. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Sucesiones y series de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Acotación, monotonía y convergencia de sucesiones . . . . . . .
1.4.2. Sucesionesdivergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Series de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ÍNDICE GENERAL
1.4.4. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Límite Funcional . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
1.5.1. Puntos de acumulación. . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Límite funcional y límites laterales. . . . . . .
1.5.3. Límites en el innito. . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4. Funciones divergentes . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5. Algebra de límites. . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.6. Indeterminaciones . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.7. Funciones asintóticamenteequivalentes. . . . .
1.5.8. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2. Tipos de discontinuidad . . . . . . . . . . . .
1.6.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4. Propiedades de las funciones continuas . . . .
1.6.5. Relación de...