Dos Demostraciones De La Irracionalidad De Ra Z De 2

Dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de 2
Como ya hemos dicho alguna que otra vez en este blog se sabe que raíz de 2 es un número irracional, es decir, que no puede escribirse en forma defracción. Pero todavía no os habíamos mostrado ninguna demostración. En este post vamos a ver dos demostraciones posibles de este hecho. La primera de ellas es la que podíamos denominar clásica, laque suele aparecer en todos los escritos sobre el tema, y que usa reducción al absurdo. La segunda no es ni mucho menos común, ya que usa descenso infinito. Vamos a verlas:
Teorema: Raíz de 2 esirracional – Demostración por Reducción al Absurdo
La demostración comienza suponiendo que raíz de 2 no es irracional y acabará en algo contradictorio. Si no es irracional debe ser obligatoriamenteracional, es decir, debe ser igual a una fracción así:

Podemos suponer sin ningún problema que el máximo común divisor de p y q es 1, es decir, que no tienen factores comunes y por tanto son primosrelativos. Elevamos al cuadrado y operando queda:


Por tanto p2 debe ser múltiplo de 2, lo que implica que p también es un múltiplo de 2. Es decir, p = 2k para un cierto k. Sustituímos este valor de p en laexpresión anteriory simplificamos un 2 de esa igualdad:

Esa expresión nos asegura que q2 es múltiplo de 2, y por tanto también lo es q. Y aquí está el absurdo: habíamos supuesto que p y q no teníanfactores comunes (es decir, mcd(p,q) = 1) y hemos llegado a que los dos son múltiplos de 2, es decir, que tienen al 2 como factor común, y por tanto su mcd debe ser al menos 2. Esa es la contradicciónque buscábamos.
Conclusión: Raíz de 2 es irracional.
Teorema: Raíz de 2 es irracional – Demostración por Descenso Infinito
El comienzo es el mismo que en el caso anterior: supongamos que raíz de 2 esun número racional, es decir:

Podemos suponer sin ningún problema que p y q son positivos. Nos va a interesar concretamente que q > 0. A partir de aquí demostraremos que raíz de 2 es igual a otra...