drogas
Llamando al semiperímetroentonces el área puede expresarse como
La demostración de Herón es realmente sorprendente. Combinando elementos geométricos sencillos llega a construir una de las demostraciones más ricas yelegantes de toda la matemática. Esta demostración puede verse en la Gacetilla Matemática ( http://www.arrakis.es/~mcj ). Presentamos aquí otra más moderna basada en el teorema del coseno.
Lafórmula clásica para el área del triángulo
nos dice que A=c*h/2; o lo que es lo mismo,
A=c*a*sen()/2. Por otro lado, el teorema del
coseno nos asegura que b2=a2+c2-2ac*cos().
El camino aseguir será despejar cos() de la
última ecuación y sustituir sen() en la anterior.
Tenemos pues que cos()=(a2+c2-b2)/(2ac), y como sen2()=1-cos2() entonces:
o lo que es lo mismoTeniendo en cuenta que el numerador es una diferencia de cuadrados y el denominador un cuadrado obtenemos:
sen() = raíz[(2ac-(a2+c2-b2))*(2ac+(a2+c2-b2))]/(2ac) =raíz[(b2-(a-c)2)*((a+c)2-b2)]/(2ac)
Sustituyendo ahora en la fórmula del área, tenemos que A = raíz[(b2-(a-c)2)*((a+c)2-b2)]/4 y utilizando de nuevo la descomposición de la diferencia de cuadrados como suma pordiferencia, nos queda:
Finalmente, introducimos el 4 dentro de la raíz quedando 16, y si observamos que (b+a-c)/2 = (s-c)/2, y que (b-a+c)/2 = (s-a)/2 y así sucesivamente, llegamos a la fórmula final:q.e.d.
Una demostración basada en geometría sintética y en una buena dosis de ingenio fue publicada por el gran Leohard Euler en el libro Variae demonstrationes geometricae (1747)....
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