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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERIA Y AGRIMENSURA

Escuela de Formaci´n B´sica - Departamento de Matem´tica
o
a
a

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDOs)

PRIMER ORDEN

Dirce Braccialarghe 1 - Ma. Susana Montelar 2

-2010-

1
2

dirce@fceia.unr.edu.ar
montelar@fceia.unr.edu.ar

´
Indice
1. Introducci´n
o

3

2. Definiciones y conceptos generales

6

3. EDOde primer orden
3.1. EDO a Variables Separables . . . . .
3.2. Ecuaciones diferenciales homog´neas
e
3.3. EDO Lineal . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Ecuaci´n de Bernoulli . . . . . . . .
o
3.5. EDO Exacta . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Trayectorias Ortogonales . . . . . . .
4. Ejercitaci´n
o

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16
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EDOs - Primer Orden

1.Introducci´n
o

Las ecuaciones diferenciales surgen en el siglo XVII a partir de la necesidad de analizar y predecir fen´menos naturales relacionados, fundamentalmente, con la Mec´nica,
o
a
la Astronom´ y la F´
ıa
ısica. Su estudio constituye una de las ramas de la Matem´tica que
a
tiene m´s aplicaciones.
a
Se entiende por ecuaci´n diferencial cualquier ecuaci´n en la que intervienen unao
o
funci´n y una o varias de sus derivadas con respecto a una o m´s variables independientes.
o
a
Muchas leyes de la naturaleza encuentran su expresi´n en el lenguaje de las ecuaciones
o
diferenciales. Son asimismo abundantes sus aplicaciones en la propia Matem´tica, espea
cialmente en Geometr´ y tambi´n en Ingenier´ Econom´ y en otros muchos campos
ıa,
e
ıa,
ıa
de las cienciasaplicadas. Es f´cil comprender la raz´n que se oculta tras una tan amplia
a
o
gama de aplicaciones. En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus ritmos
de variaci´n est´n relacionados entre s´ por medio de los principios cient´
o
a
ı
ıficos b´sicos que
a
gobiernan dicho proceso. Como es sabido, la derivada representa la raz´n de cambio de la
o
variable dependiente conrespecto a la variable independiente. Resulta entonces natural
que las ecuaciones que involucran derivadas sean apropiadas para describir el universo
cambiante. Problemas relativos a la desintegraci´n radiactiva, al crecimiento de poblacioo
nes, a las reacciones qu´
ımicas, al enfriamiento, a la determinaci´n de la posici´n de un
o
o
objeto, etc. pueden formularse en t´rminos de ecuacionesdiferenciales.
e
El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene tres objetivos principales:
1. Descubrir la ecuaci´n diferencial que describa una situaci´n f´
o
o ısica espec´
ıfica (formular el problema del mundo real en t´rminos matem´ticos, construir un modelo
e
a
matem´tico).
a
2. Determinar la soluci´n o familia de soluciones.
o
3. Interpretar la soluci´n.
o

Situaci´n del MundoReal
o















]
J
J

J
J

J

Modelo Matem´tico
a

Resultados Matem´ticos
a






J

J

J

J
^
J









ECUACION DIFERENCIAL

Ecuaciones diferenciales y modelos matem´ticos
a
En muchos fen´menos naturales las cantidades crecen o disminuyen con una rapidez
o
proporcional a su tama˜o. Por ejemplo, es razonable suponer que larapidez de crecimiento
n
de una poblaci´n de animales o de bacterias sea proporcional a la cantidad de individuos en
o
la poblaci´n. Otros ejemplos se presentan al analizar la cantidad de un material radiactivo
o

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EDOs - Primer Orden

que se est´ desintegrando o la cantidad de dinero en una cuenta bancaria con inter´s
a
e
compuesto continuamente. En condiciones ideales, si y...