Ec de mov de un torpedo

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|  En esta página, se describe la trayectoria que sigue un torpedo disparado desde el origen cuando persigue a un submarino que se mueve con velocidad constante V a lo largo de la trayectoria rectilínea y=H. El torpedo se mueve con velocidad constante v, pero su dirección apunta siempre hacia el submarino, tal como se muestra en la figura.Ecuación del movimiento del torpedoEn eltriángulo rectángulo de la figura, la base es la diferencia entre el desplazamiento del submarino V·t y la del torpedo x. La altura es la diferencia H-y. Como la dirección de la velocidad del torpedo es la línea recta que pasa por la posición del torpedo y la del submarino en el instante t, tendremos queo de forma alternativaDiferenciando ambos miembros con respecto del tiempoTeniendo en cuenta quedvy/dt=dvy/dy·dy/dt=vy·dvy/dyIntegramos ambos miembros, sabiendo que el torpedo parte del origen y=0, y su velocidad inicial es vy=v, dirigida a lo largo del eje Y.Para resolver la integral de la derecha, se hace el cambio de variable z=1/vyDeshaciendo el cambio de variable y evaluando ambas integrales en los límites inferior y superior, se obtiene.Elevando ambos miembros al cuadrado y despejandovyResolvemos la ecuación diferencial de primer ordencon las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, el torpedo parte del origen, y=0.Alternativamente, integramos de nuevo para obtener la ordenada y del torpedo en función del tiempo t.Para ello, hacemos el cambio de variable z=1-y/H.Esta es una ecuación implícita de la ordenada y en función del tiempo t.Una vez obtenida la ordenada y enfunción del tiempo t, se calcula la abscisa x, mediante la relación deducida al principio de esta página.Sustituimos el tiempo t y obtenemos la ecuación de la trayectoria Distintos casos * Cuando la velocidad del torpedo es mayor que la del submarino, v>V. Cuando y=H ó z=0 se produce el impacto del torpedo y la posible destrucción del submarino.La posición del punto de impacto esque espositivo solamente si v>V. La velocidad v del torpedo tiene que ser necesariamente mayor que la velocidad V del submarino para que haya impacto.El instante t en el que se produce es * Cuando la velocidad del torpedo es menor que la del submarino, v<V. El torpedo y el submarino se aproximan hasta una distancia mínima y luego se alejan.El mínimo se obtiene derivando L respecto de z e igualando acero.Haciendo algunas operaciones obtenemos * Cuando la velocidad del submarino y del torpedo es la misma, V=v. La componente Y de la velocidad del torpedo valeHacemos el cambio de variable z=1-y/H para integrarLa ecuación de la trayectoria es Cuando v→V, la distancia entre el submarino Lmin y el torpedo tiende a H/2, como puede comprobarse fácilmenteEjemplo. * Cuando la velocidad v deltorpedo es menor que la del submarino V=1. Por ejemplo, v=0.8. La distancia de máximo acercamiento esEn la posiciónz=0.415, y=0.585En el instanteLa abscisa x se obtiene a partir de la ecuación de la trayectoria * Cuando la velocidad v del torpedo es mayor que la del submarino V=1. Por ejemplo, v=2. La posición del punto de impacto esen el instante  ActividadesSe introduce * La velocidad v deltorpedo, actuando en la barra de desplazamiento titulada V. torpedo. * La velocidad V del submarino se ha fijado en V=1 * La distancia inicial H entre el torpedo y el submarino se ha fijado en H=1. Se pulsa el botón titulado Empieza.Se observa la trayectoria curvilínea del torpedo (en color rojo) y la rectilínea del submarino (en color azul).La flecha de color negro, representa la velocidaddel torpedo, su dirección es tangente a la trayectoria que es a su vez, la recta que une el torpedo y el submarino.El programa interactivo resuelve numéricamente la ecuación diferencial de primer orden que proporciona el valor de la ordenada y en función del tiempo t, y luego calcula la abscisa x, mediante la relación geométrica establecida al principio de esta página.  |
Movimiento curvilíneo...