Ec de recta

Ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales
René Descartes (1596-1650), filósofo y matemático, desarrolló el método para resolver un problema de geometría sustituyéndolo por un problema de cálculo numérico, utilizando las llamadas ecuaciones cartesianas.
¿Cómo determinar la ecuación de una recta? ¿De qué manera nos ayuda la ecuación de una recta a resolver problemas de paralelismo ode ortogonalidad? En este tutorial desarrollaremos estas dos cuestiones.
También veremos que un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se puede interpretar mediante las ecuaciones de dos rectas. Las coordenadas del punto de corte de estas dos rectas son la solución de este sistema.
I. Determinar la ecuación de una recta
Sean A(xA, yA) y B(xB, yB) dos puntos dados en unsistema de coordenadas cartesianas xy. Para determinar la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos (la recta AB) hemos de hallar la condición necesaria y suficiente para que un punto cualquiera M(x, y) esté alineado con A y B: esta condición supone que los vectores [pic]y [pic]deben tener la misma dirección, es decir, deben ser colineales.
Las coordenadas del vector [pic]son(xB - xA, yB - yA), y las coordenadas del vector [pic]son (x - xA, y - yA). Para que dichos vectores sean colineales, se debe cumplir que: (x - xA)(yB - yA) = (y - yA)(xB - xA).
Se dan los dos casos siguientes:
—si los puntos A y B tienen el mismo valor de la abscisa, k, entonces xB - xA = 0, y la ecuación de la recta AB es x = k, que es una recta paralela al eje de ordenadas (eje y);
—si xB - xA ≠ 0, podemoscalcular la pendiente de la recta AB: [pic]y la ordenada en el origen: n = yA - mxA. La ecuación explícita de la recta AB es: y = mx + n.
Recíprocamente, en un sistema de coordenadas cartesianas xy, el conjunto de puntos M de coordenadas (x, y) tales que y = mx + n es una recta que no es paralela al eje y.
Ejemplo:
[pic]
Sean los dos puntos A(4, 2) y B(-1, 3), y un punto M cualquiera decoordenadas (x, y).
Si calculamos las coordenadas de los vectores [pic]y [pic], obtenemos [pic](x – 4, y – 2) y [pic](–5, 1).
Decimos que M está alineado con A y B si los “productos cruzados” son iguales, lo que se traduce en la siguiente ecuación: (x – 4) · 1 = (y – 2) · (–5), que es la ecuación de la recta AB.
Transformando esa igualdad, llegamos a la ecuación:
[pic]
II. Utilizar la ecuaciónde una recta
Para averiguar si un punto pertenece a una recta: sustituimos en la ecuación de dicha recta el valor de la x por el valor de la primera coordenada del punto, y verificamos si el valor de y que se obtiene coincide o no con la segunda coordenada del punto. Por ejemplo, ¿pertenece el punto E de coordenadas (2, -1) a la recta de ecuación y = –2x + 3?
Para resolver este problema,sustituimos x por 2 en la fórmula –2x + 3; si obtenemos –1, el punto está sobre la recta, de lo contrario no lo está.
Por tanto, si sustituimos x por 2, obtenemos: –2 · 2 + 3 = –1; por tanto, el punto E sí pertenece a la recta dada.
Para dibujar una recta de la que conocemos su ecuación, distinguimos dos casos:
—si la ecuación es de la forma x = k, la recta es paralela al eje y; situamos el punto decoordenadas (k, 0) y dibujamos la recta;
—si la ecuación es de la forma y = mx + n, le damos a x dos valores diferentes x1 y x2, y dibujamos la recta que pasa por los puntos de coordenadas (x1, mx1 + n) y (x2, mx2 + n). Si le damos a x los valores x = 0 y [pic], la recta pasará por los puntos (0, n) y [pic].
Ejemplo: queremos dibujar la recta de ecuación [pic].
Le damos a x el valor x = 6, quees divisible entre 3, y calculamos y: [pic]. Obtenemos el punto A de coordenadas (6, 2).
Le damos de nuevo a x otro valor, por ejemplo -3; calculamos y para este valor, y obtenemos el punto B de coordenadas (-3, 5).
Situamos estos dos puntos en el plano cartesiano y dibujamos la recta.
[pic]
III. Resolución de problemas de geometría con ecuaciones de rectas
Comprobar si dos rectas son...