ecologia
Páginas: 3 (641 palabras)
Publicado: 29 de septiembre de 2013
CAPÍTULO
6
La Transformada de Laplace
6.4.5
Derivada de una transformada
Esta propiedad es útil cuando se requiere calcular transformadas inversas de funciones F .s/ para las cuales
sepuede obtener su derivada o su integral definida. Haremos uso de esta propiedad para calcular la TL de
funciones trascendentes.
La propiedad establece:
! F .s/; entonces t n f .t/
Si f .t/
! .1/n F .n/ .s/; para n D 1; 2; 3;
H Para demostrar esta propiedad notemos que, bajo condiciones adecuadas, se satisface el siguiente
resultado, llamado con frecuencia regla de Leibniz.
d
ds
11
g.t; s/ dt D
0
0
@g.t; s/
dt:
@s
Bajo este supuesto, tenemos entonces:
d
d
F .s/ D
ds
ds
1
1
e
st
f .t/ dt D
0
@.e
0
st
f .t//
dt D
@s
1e
st
tf .t/ dt D
Lf tf .t/g:
0
Es decir:
Lf tf .t/g D
d
F .s/ D
ds
d
Lf f .t/g:
ds
(6.1)
De manera similar,
L t 2 f .t/ D Lf t tf .t/g D
˚
«
d
Lf tf .t/gD
ds
1. canek.azc.uam.mx: 24/ 9/ 2010
1
d
ds
d
F .s/
ds
D
d2
F .s/:
ds 2
2
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Continuando con el razonamiento, podemos concluir engeneral:
Lf t n f .t/g D . 1/n F .n/ .s/:
(6.2)
O de otra forma:
L
1˚
«
n n
F .n/ .s/ D . 1/ t f .t/:
(6.3)
Ejemplo 6.4.1 Calcular Lf t cosh 2tg.
H
Si escribimos
F .s/ DLf cosh 2tg D
s
s2
4
;
Directamente de la propiedad se desprende que
Lf t cosh 2tg D
Ejemplo 6.4.2 Calcular L
H
d
F .s/ D
ds
1
.s 2
d
ds
s
s2
s2
D
4
4s.2s/
D
4/2
.s 2
s 2 4 2s 2
s2 C 4
D 2
:
2
2
.s
4/
.s
4/2
s
.
C 1/2
En primer lugar buscaremos una función F .s/ tal que F 0 .s/ D
F .s/ D
1
2
.s 2 C 1/
2
.s2
s
. Tenemos:
C 1/2
1
:
2.s 2 C 1/
.2s ds/ D
Donde, sin pérdida de generalidad (ver el siguiente desarrollo) podemos tomar la constante de integración
como cero. De esta forma:...
6
La Transformada de Laplace
6.4.5
Derivada de una transformada
Esta propiedad es útil cuando se requiere calcular transformadas inversas de funciones F .s/ para las cuales
sepuede obtener su derivada o su integral definida. Haremos uso de esta propiedad para calcular la TL de
funciones trascendentes.
La propiedad establece:
! F .s/; entonces t n f .t/
Si f .t/
! .1/n F .n/ .s/; para n D 1; 2; 3;
H Para demostrar esta propiedad notemos que, bajo condiciones adecuadas, se satisface el siguiente
resultado, llamado con frecuencia regla de Leibniz.
d
ds
11
g.t; s/ dt D
0
0
@g.t; s/
dt:
@s
Bajo este supuesto, tenemos entonces:
d
d
F .s/ D
ds
ds
1
1
e
st
f .t/ dt D
0
@.e
0
st
f .t//
dt D
@s
1e
st
tf .t/ dt D
Lf tf .t/g:
0
Es decir:
Lf tf .t/g D
d
F .s/ D
ds
d
Lf f .t/g:
ds
(6.1)
De manera similar,
L t 2 f .t/ D Lf t tf .t/g D
˚
«
d
Lf tf .t/gD
ds
1. canek.azc.uam.mx: 24/ 9/ 2010
1
d
ds
d
F .s/
ds
D
d2
F .s/:
ds 2
2
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Continuando con el razonamiento, podemos concluir engeneral:
Lf t n f .t/g D . 1/n F .n/ .s/:
(6.2)
O de otra forma:
L
1˚
«
n n
F .n/ .s/ D . 1/ t f .t/:
(6.3)
Ejemplo 6.4.1 Calcular Lf t cosh 2tg.
H
Si escribimos
F .s/ DLf cosh 2tg D
s
s2
4
;
Directamente de la propiedad se desprende que
Lf t cosh 2tg D
Ejemplo 6.4.2 Calcular L
H
d
F .s/ D
ds
1
.s 2
d
ds
s
s2
s2
D
4
4s.2s/
D
4/2
.s 2
s 2 4 2s 2
s2 C 4
D 2
:
2
2
.s
4/
.s
4/2
s
.
C 1/2
En primer lugar buscaremos una función F .s/ tal que F 0 .s/ D
F .s/ D
1
2
.s 2 C 1/
2
.s2
s
. Tenemos:
C 1/2
1
:
2.s 2 C 1/
.2s ds/ D
Donde, sin pérdida de generalidad (ver el siguiente desarrollo) podemos tomar la constante de integración
como cero. De esta forma:...
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