Economía

CONJUNTO n
1.-

Considerar los vectores u = (1, -3, 2) y v = (2, -1, 1) de 3 :

a) Escribir, si es posible, los vectores (1, 7, -4) y (2, -5, 4) como combinación lineal
de u y v.
b) ¿Para qué valores de x es el vector (1, x, 5) una combinación lineal de u y v?
2.-

Los vectores v1 = (1, 1, − 1) , v2 = (2,1,3) y v3 = (5, 2, 10) de 3 , ¿son linealmente

independientes? En caso de noserlo hallar la relación de dependencia.
3.-

Dados los vectores u1 = (2, − 1,0) , u2 = (0,1, − 1) y u3 = (8,3,1) de 3 , estudiar si son

linealmente dependientes o independientes.
4.-

Dados los vectores u1 = (1,0, − 1,0) , u2 = (2,0,3, − 1) , u3 = (1,1, − 1,1) y u4 = (2,1, − 2,1)

de  4 , estudiar si son linealmente independientes. En caso de no serlo hallar la relación
dedependencia.
5.-

Dados los vectores de  4 v1 = (1,1,0, m) , v2 = (3, − 1, n, − 1) y v3 = (−3,5, m, − 4) ,

determinar los valores que han de tomar los parámetros m y n para que los tres vectores
sean linealmente dependientes.
6.-

Sean u = (-1, 0, 0), v = (1, 1, 0) y w = (-1, 1, -1) vectores de 3 :
a) Demostrar que {u, v, w} es una base de 3 .
b) Hallar las coordenadas respecto de estabase del vector cuyas coordenadas
respecto de la base canónica son 1, 0, 2.
c) Hallar las coordenadas respecto de la base canónica del vector a = 3u - v + 5w.

1

2

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1.-

Calcular, si es posible, los productos AB y BA

A=

2.-

(1

24

5


, B= 3 
0



)

Comprobar que la matriz


X = 4 2 1 3

verifica la ecuación X 2 − 7 X + 10I2 = 02 , siendo 02 ∈ M2 la matriz nula.
3.-





Calcular una matriz C ∈ M2 tal que AC = B, siendo A =  1 0  y B =  5 2  .
2 1
6 3

4.-



Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz A =  1 1  .
0 1

5.-



Dada A =  3 1  .
5 2
a) Calcular 3 At A − 2I2 .


b) Resolver la ecuación AX =  2 0  .0 1

6.-

 a −b 
Sea A = 
 con a, b ∈  . Determinar las condiciones que han de cumplir los
a
b

parámetros a y b para que la matriz A sea:
a) Regular.
b) Simétrica.
7.-

Determinar todas las matrices A ∈ M2 tales que A2 = 02 .

8.-

Hallar las matrices A ∈ M2 tales que:


a)  2 1  A =
3 2

 −2 4

 3 −1


  −3
2

  5 −3





−1





b)  2 1  A =  2 1 
2 1
2 1

3

9.-

Dada A ∈ Mn probar que las matrices B = At A y C = AAt son matrices simétricas.

10.- Una matriz

A ∈ Mn

se dice idempotente si

A2 = A . Probar que si

A ∈ Mn

es

idempotente se tiene:
a) B = In − A es idempotente.
b) AB = BA = 0n , con B la matriz del apartado a).
11.- Demostrar que si A ∈ Mn es regular,entonces A−1 es también regular. Calcular

()
A−1

−1

.

12.- Sean A, B, C ∈ Mn . Si A es regular y AB = AC demostrar que entonces B=C. Si A es

singular y AB = AC, ¿deducimos entonces que B = C?. Razonar la respuesta.
13.- Determinar si son verdaderas o falsas las siguientes cuestiones:

a) El producto de matrices triangulares es triangular.
b) Si A ∈ Mn es tal que A4 = 0n  A =0n .
c) A ∈ Mn  At A = AAt .
d) Sean A, B ∈ Mn tales que AB = 0n  A = 0n o B = 0n .
e) Sean A, B ∈ Mn regulares, entonces A+B es regular.
14.- Sean A, B ∈ Mn si AB = A y BA = B, entonces A2 = A y B2 = B .
15.- Calcular:

a)

d)

325
214
316

3
5
1
6

1
4
3
7

5
6
2
5

b)

0
3
1
4

−1

e)

21

0ab
a0c
bc0

c)

42

5

6 0 −2

1

1

1 −11

1

1

1 −1

1

1

1

1

1

4

3

1 −1

f)

1

1

1

1 −1

1

1

1

1 −1

1

1

1

1 −1

1

3

45

−1

0

3

45

−1 −2

0

45

−1 −2

−3

05

−1 −2

g)

2

−3

−4 0

x11
1x1
11x

m)

1
3
3
6

3
5
6
4

2
3
2
5

1
2
2
3

p)

1
0
1
0
1

2
0
1
0
2

1
1
0
1
2

2
1...