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Ecuación diferencial de Bernoulli
Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann,que se caracterizan por tener la forma:
donde y son funciones continuas en un intervalo
-------------------------------------------------
Método de resolución
Caso general
Si sedescuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:
(1)
Definiendo:
lleva inmediatamente a las relaciones:
Gracias a esta última relación se puede reescribir(1) como:
(2)
Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:
Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α setiene que:
Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:
(3)
Con .
Caso particular: α = 0
En este caso la ecuación se reduce a unaecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:
(4)
Caso particular: α = 1
En este caso la solución viene dada por:
(5)
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Ejemplo
Para resolver la ecuación:
(*)
Se hace el cambio de variable , que introducido en (*) da simplemente:
(**)
Multiplicando la ecuación anterior por elfactor: se llega a:
Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:
Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factorintegrante típico de la ecuación de Bernouilli:
Y se resuelve ahora la ecuación:
Deshaciendo ahora el cambio de variable:
Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue :
La Ecuación De RicattiJacobo Francesco Ricatti , matemático y filósofo, nació en Italia en 1676 conocido como conde y muere en 1754. Fue el principal responsable de la introducción de las ideas de Newton en Italia. En...
Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann,que se caracterizan por tener la forma:
donde y son funciones continuas en un intervalo
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Método de resolución
Caso general
Si sedescuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:
(1)
Definiendo:
lleva inmediatamente a las relaciones:
Gracias a esta última relación se puede reescribir(1) como:
(2)
Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:
Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α setiene que:
Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:
(3)
Con .
Caso particular: α = 0
En este caso la ecuación se reduce a unaecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:
(4)
Caso particular: α = 1
En este caso la solución viene dada por:
(5)
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Ejemplo
Para resolver la ecuación:
(*)
Se hace el cambio de variable , que introducido en (*) da simplemente:
(**)
Multiplicando la ecuación anterior por elfactor: se llega a:
Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:
Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factorintegrante típico de la ecuación de Bernouilli:
Y se resuelve ahora la ecuación:
Deshaciendo ahora el cambio de variable:
Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue :
La Ecuación De RicattiJacobo Francesco Ricatti , matemático y filósofo, nació en Italia en 1676 conocido como conde y muere en 1754. Fue el principal responsable de la introducción de las ideas de Newton en Italia. En...
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