Ecuación diferencial de bernoulli

Ecuación diferencial de Bernoulli
Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann,que se caracterizan por tener la forma:

donde  y  son funciones continuas en un intervalo 

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Método de resolución
Caso general
Si sedescuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:
(1)
Definiendo:

lleva inmediatamente a las relaciones:

Gracias a esta última relación se puede reescribir(1) como:
(2)
Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:

Donde  es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α setiene que:

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:
(3)
Con .
Caso particular: α = 0
En este caso la ecuación se reduce a unaecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:
(4)
Caso particular: α = 1
En este caso la solución viene dada por:
(5)
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Ejemplo
Para resolver la ecuación:
(*)
Se hace el cambio de variable , que introducido en (*) da simplemente:
(**)
Multiplicando la ecuación anterior por elfactor:  se llega a:

Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:

Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factorintegrante típico de la ecuación de Bernouilli:

Y se resuelve ahora la ecuación:

Deshaciendo ahora el cambio de variable:

Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue :

La Ecuación De RicattiJacobo Francesco Ricatti , matemático y filósofo, nació en Italia en 1676 conocido como conde y muere en 1754. Fue el principal responsable de la introducción de las ideas de Newton en Italia. En...