ECUACION DIFERENCIAL DE BERNOULLI

Notas de clases del profesor José Alfredo Ramos Beltrán

ECUACION DIFERENCIAL DE BERNOULLI
Definición. Una ED de la forma

dy
 P( x) y  Q( x) y n con n  0,1 , se le llama una EDde
dx

Bernoulli.
Obsérvese que es una ED no lineal.
Método de solución.
Dividiendo la ED por el factor y n se tiene
yn

dy
 P( x) y1n  Q( x)
dx

Al hacer las sustituciones

z y1n
dz
dy
 (1  n) y  n
dx
dx

Se llega a
1 dz
 P ( x) z  Q( x )
1  n dx

Y en su forma estándar
dz
 (1  n) P( x) z  Q( x)
dx

Se lleva a la ED de Bernoulli a una ED linealen la nueva variable z , la cual deberá
resolverse por el método de las ED lineales.
Ejemplo. Resolver la ED

dy y x
 
dx x y 5

Primero escribimos la Ed en la forma estándar
dy1
 y   xy 5
dx x

Donde se identifican a P( x)  

1
y n  5
x

Notas de clases del profesor José Alfredo Ramos Beltrán

Dividiendo luego, entre y 5
1 dy 1 y

 x
y 5 dxx y 5
dy 1 6
y5
 y  x
dx x

Haciendo el cambio de variable
z  y6
dz
dy
 6 y5
dx
dx

Se obtiene al sustituir

1 dz 1
 z  x
6 dx x
dz 6
 z  6 x
dx x
La cual es ahora unaED lineal en la nueva variable z. El factor integrante es
6

e

  x dx

 e6ln x 

1
x6

Por lo cual,
d 1
dx  x 6

6

z   5
x

6
1 
 d  x6 z     x5 dx
1
3
z  4C
6
x
2x
3
z  x 2  cx 6
2

Regresando a la variable original se tiene la solución general de la ED
y6 

3 2
x  cx 6
2

Notas de clases del profesor José Alfredo RamosBeltrán

Desarrolla tu competencia:
Encuentra la solución de las siguientes ED de Bernoulli.
dy y x
 
dx x y 2
dy
4(1  x 2 )
 2 xy( y 4  1)
dx
dx
txx 2
 x3  t cos t
dt
dy
1
x2
 2 xy 3 y 4
y (1) 
dx
2
2
xy  y  y ln x
cos x
x xy 2 y  y 3 
x
3
dx 2
 x 2
x(1)  1
 x t 2
dt t
t 
dy
 f ( x) y  f ( x) y 2
dx

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