Ecuación diofantina

La ecuación diofantina:

Definición:
Una ecuación diofantina es una ecuación de la forma
planteada sobre el conjunto de los números enteros , los números naturales o sobre los racionales.Ejemplo:
Encontrar todos los pares naturales tales que:
.

Una ecuación diofantina se llama lineal si tiene la forma:
, nuestro objetivo es estudiar cuando está ecuación tiene solucionesenteras, y no negativas.

Teorema 1

Sea enteros no todos nulos, para cualquier entero b la ecuación tiene solución entera si y sólo si divide a b.
Demostración:

Sea .Primero supongamosque la ecuación se satisface con enteros , por lo que se tiene que:
, de donde d divide a b ya que el lado izquierdo de la ecuación debe ser un entero porque d divide a cada .

Recíprocamente,supongamos que d divide a b entonces existe un entero q tal que b=dq , por otro lado sabemos que existen enteros tales que:

, por lo tanto se tiene que:

Hacemos
, de donde se sigue que: conenteros.
Corolario:
Si los enteros son primos relativos entonces la ecuación tiene solución para todo entero b.

Teorema 2:

Sea enteros positivos tales que .
Si se cumple que ,entonces la ecuación se satisface con enteros no negativos.

Demostración:
Del teorema anterior se tiene que existen enteros tales que:
, podemos dividir cada entero por obteniéndose:

conpara . Luego, sea:
. Por lo que se tiene que:

Por lo que basta por probar que , de la igualdad anterior se tiene que:
ya que
Pero por hipótesis tenemos que :
, por lo tanto:
dedonde se concluye que:
, pero sabemos que por lo que .
Sea enteros positivos primos relativos. Se define el número de frobenius como el menor entero N tal que la ecuación lineal diofántinatenga solución no negativa para todo b tal que .
Proposición:
El número de frobenius es bien definido. (Ver teorema 2).

Determinar para k cualquiera es un problema que aún se encuentra...