ECUACI N DIFERENCIAL

ECUACIÓN DIFERENCIAL
Definición:
Una ecuación diferencial es aquella en la que intervienen derivadas o diferenciales. Si tales derivadas son las de una función de una variable, entonces a la ecuación diferencial se le llama ordinaria. Una ecuación diferencial parcial (o en derivadas parciales) contiene derivadas parciales.


SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Se dice que una función f,definida en un intervalo I, es solución (también llamada integral de la ecuación) de una ecuación diferencial en el intervalo I, si satisface la ecuación diferencial en I, es decir, si se sustituye f en dicha ecuación y esta se reduce a una identidad.


A veces, una ecuación diferencial tiene una solución que no puede obtenerse dando valores específicos a los parámetros en una familia desoluciones. A tal solución se le llama solución singular. La terminología de solución completa se usa algunas veces para denotar todas las soluciones, esto es, la solución general junto con las soluciones singulares, si hay alguna.




ALGUNAS INTERROGANTES
Lo expuesto hasta ahora sugiere plantear las siguientes interrogantes en relación a las ecuaciones diferenciales:
a. Una vez que se tiene la ecuacióndiferencial, ¿cómo se sabe que existen soluciones de dicha ecuación?
b. Si ya se conoce que una ecuación diferencial tiene solución. ¿Cuántas soluciones hay?
c. Sabiendo que hay soluciones y cuántas de ellas, ¿Cómo hallarlas?
d. ¿Cómo surgen las ecuaciones diferenciales, es decir, que tipos de problemas conducen a plantear ecuaciones diferenciales?
e. Conociendo que hay soluciones y cuántas deellas, pero no sabiendo determinarlas mediante una fórmula, bien sea explícitamente y y(x)=o implícitamente φ (x, y)=0, ¿existirá alguna manera de “aproximar” cada solución por una función conocida o por una serie y determinar una cota del error cometido en esa aproximación? y ¿habrá algún procedimiento para decir cómo se comportan las soluciones aun cuando no se conocen? En lo que sigue se darárespuestas a estos interrogantes, excepto la (e) la cual forma parte de otros estudios, entre ellos los métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales (cálculo numérico).


Ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

Donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y son iguales. Esto es equivalente a decir que existeuna función tal que:

Donde y .
Dado que es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:
.
Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:
Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x)son iguales.
Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x ó N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

Para despejar la función g se deriva con respecto a la variable independiente de g.
Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luegointegrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.
Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
En los siguientes problemas determine si la ED es exacta, si lo es resuélvala.
Ejemplo 1. Ejercicios 2.4 Libro Dennis G. Zill (problema 3)
(5x+4y)dx+(4x−8y3)dy=0
-Determinamos si esexacta la ED
M(x,y)dx=5x+4y;        N(x,y)=4x−8y3
δMδy=4;        δNδx=4
-De donde concluimos que la ecuación si es exacta ya que:
δMδy=δNδx
Resolvemos la ecuación de acuerdo a los pasos listados anteriormente
Paso 1.
∫M(x,y)dx+g(y)===∫(5x+4y)dx+g(y)5∫xdx+4y∫dx+g(y)52x2+4xy+g(y)
Paso 2.
δδy∫M(x,y)dx+g′(y)⇒δδy(52x2+4xy)+g′(y)⇒0+4x+g′(y)⇒0+g′(y)g′(y)=====N(x,y)4x−8y34x−8y3−8y3−8y3
Paso 3....