ECUACION DE LA RECTA

LA LINEA RECTA
Distancia entre dos puntos del plano
Fórmula de la distancia
La distancia, d ( P1 , P2 ), entre dos puntos cualesquiera, P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) , en un plano de

coordenadas, es:

d ( P1 , P2 ) = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 ) 2

Demostración

Si x1 ≠ x2 y y1 ≠ y2 , entonces, como se ve en la Fig 1, los puntos
P1 ( x1 , y1 ),

P2 ( x2 , y2 )

y

P3 ( x2 , y1 ) son vértices deun triángulo rectángulo.

Según el teorema de Pitágoras: [ d ( P1 , P2 )]2 = [d ( P1 , P3 )]2 + [d ( P3 , P2 )]2
En la figura se observa que : d ( P1 , P2 ) = x2 − x1

y d ( P3 , P2 ) = y2 − y1

2

Ya que x = x 2 para todo número real x , se puede escribir:
[ d ( P1 , P2 )]2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2

Se obtiene la raíz cuadrada de cada lado de esta ecuación y como d ( p1 , p2 ) ≥ 0 ,resulta la
fórmula de la distancia.
Si y1 = y2 , los puntos P1 y P2 quedan en la misma recta horizontal, y

d ( P1 , P2 ) = x2 − x1 = ( x2 − x1 ) 2 Igualmente,
Si x1 = x2 , los puntos P1 y P2 quedan en la misma recta línea vertical, y

d ( P1 , P2 ) = y2 − y1 = ( y2 − y1 )2
Nótese que d ( P1 , P2 ) = d ( P2 , P1 ) y, por tanto, no importa el orden en el que se resten las
abscisas y las ordenadas de lospuntos

fig1.
Fórm
mula del pu
unto medio
El punto
p
mediio M del segmento de recta qque va de P1 ( x1 , y1 ) a
x + x y + y2
( 1 2, 1
)
2
2

P2 ( x2 , y2 ) es :

Fig.22
Ejerrcicios.
1. Grraficar los ppuntos A (-3
3,8) y B (6,11) y calculaar la distanciia d(A,B).
2. Grraficar los ppuntos A (-6
6,-3) y B (6,,1) y calculaar la distanccia d(A,B).
(
y D (-2,-3) son loos vértices dde un cuadrrado.
3.Deemuestre quue A (-4,2), B (1,4), C (3,-1)
4. Deemuestre quue A (-4,-1), B (0,-2), C(6,1)
C
y D (2,2)
(
son loss vértices dee un paralellogramo.
5. Daado A (-3,88), calcule laas coordenaadas del punnto B, de taal modo quee C (5,-10) quede en
el puunto medio del
d segmentto AB.
6. ¿P
Para qué vallores de a la distancia entre P (a, 3)
or que
3 y Q (5, 2a ) es mayo

26 ?

7. Los Vértices de untriángulo son A (3,8), B (2,-1) y C(6,-1). Si D es el punto medio del
lado BC, calcular la longitud de la mediana AD.

RECTAS
Uno de los conceptos básicos en geometría es el de línea recta, o simplemente, recta. En
esta sección el estudio el estudio se limita a las rectas que están en un plano de
coordenadas.
Objetivo:
1.-Desarrollar la noción de pendiente y las diferentes formas de ecuaciones derectas.
2.- Dada una recta l en un plano coordenado, deducir una ecuación cuya gráfica
corresponda a l
3.-Dada una recta l en un plano coordenado, graficar la ecuación.
Definición de pendiente de una recta
Sea l una recta no paralela al eje y , y sean P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) puntos diferentes en l . La
pendiente m de l es: m =

y2 − y1
cambio vertical
cambio en y
=
=
x2 − x1 cambio horizontalcambio en x

Si l es paralela al eje y , entonces la pendiente de l no está definida.
Observaciones:
1)
2)
3)
4)

Pendiente cero:
Pendiente indefinida:
Pendiente Positiva:
Pendiente negativa:

recta horizontal
recta vertical
recta que sube de izquierda a derecha.
recta que desciende de izquierda a derecha

Ecuaciones de las rectas horizontales y verticales
Terminología
Definición
Recta horizontalUna recta paralela al eje x

Recta vertical

Una recta paralela al eje
y

Gráfica
y

y

Ecuación
y=b

x

x=a

x
Forma de punto y pendiente, de la ecuación de la recta:
La ecuación de la recta cuya pendiente es m, y que pasa por el punto ( x1 , y1 ) , es
y − y1 = m( x − x1 )

Ecuación de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen
La gráfica de y = mx + b es una recta que tiene pendiente my ordenada en el origen b
Forma general de la ecuación de una recta:
La Forma lineal general es: Ax + By + C = 0
Rectas paralelas y perpendiculares
Rectas Paralelas: Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen la misma
pendiente.
l1 & l2 ↔ m1 = m2
Rectas Verticales:Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes
es -1.
l1 ⊥ l2

↔ m1.m2 = −1

Funciones...