ecuacion de onda
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Publicado: 15 de octubre de 2014
Ecuación de onda
La ecuación de onda es una importante ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de segundo orden que describe la propagación de una variedad de ondas, como las ondas sonoras, las ondas de luz y las ondas en el agua. Es importante en varios campos como la acústica, el electromagnetismo y la dinámica de fluidos. Históricamente, el problema de una cuerda vibrante como lasque están en los instrumentos musicales fue estudiado por Jean le Rond d'Alembert (1746) por primera vez, Leonhard Euler (1748),Daniel Bernoulli (1753) y Joseph-Louis Lagrange(1759). Se hallaron soluciones en diversas formas que ocasionaron discusiones por más de veinticinco años. Las disputas aún se resolvieron en el siglo XIX.1
Introducción[editar]
La ecuación de onda es el ejemplo prototipode una ecuación diferencial parcial hiperbólica. En su forma más elemental, la ecuación de onda hace referencia a una función u(x,t) que satisface:
{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \Delta u,
Donde \Delta = \nabla^2 es el laplaciano y donde c es una constante equivalente a la velocidad de propagación de la onda. Para una onda sonora en el aire a 20 °C, esta constante es de cerca de343 m/s (véase velocidad del sonido). Para una cuerda vibrante, la velocidad puede variar mucho dependiendo de la densidad lineal de la cuerda y su tensión. Para un resorte de espiral (un slinky) puede ser tan lento como un metro por segundo.
Un modelo más realista de la ecuación diferencial para ondas permite que la velocidad de propagación de la onda varíe con la frecuencia de la onda, a estefenómeno se le conoce como dispersión. En este caso, c deberá ser remplazado por la velocidad de fase:
v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}.
Otra corrección común en sistemas realistas es que la velocidad puede depender también de la amplitud de la onda, lo que nos lleva a una ecuación de onda no lineal:
{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \Delta u
También hay que considerar que unaonda puede ser transmitida en un portador móvil (Por ejemplo la propagación del sonido en el flujo de un gas). En tal caso el escalar u contendrá un Número Mach (el cual es positivo para la onda que se mueva a lo largo del flujo y negativo para la onda reflejada).
La ecuación de onda elástica en tres dimensiones describe la propagación de onda en un medio elástico homogéneo isótropo. La mayoríade los materiales sólidos son elásticos, por lo que esa ecuación describe fenómenos tales como ondas sísmicas en la Tierra y las ondas de ultrasonido usadas para determinar defectos en los materiales. Aunque sea lineal, esta ecuación tiene una forma más compleja que las ecuaciones dadas arriba, porque debe tomar en cuenta los movimientos longitudinales y transversales:
\rho{ \ddot{\bold{u}}} =\bold{f} + ( \lambda + 2\mu )\nabla(\nabla \cdot \bold{u}) - \mu\nabla \times (\nabla \times \bold{u})
Donde:
\lambda y \mu son los supuestos parámetros de Lamé que describen las propiedades elásticas del medio.
\rho es la densidad,
\bold{f} es la función de entrada (fuerza motriz),
y \bold{u} es el desplazamiento.
Note que en esta ecuación, la fuerza y el desplazamiento son cantidadesvectoriales. Esta ecuación es conocida a veces como la ecuación de onda vectorial.
Hay variaciones de la ecuación de onda que también pueden ser encontradas en mecánica cuántica y relatividad general.
Ecuación de onda escalar en un espacio de una sola dimensión[editar]
Obtención de la ecuación de onda[editar]
De la ley de Hooke[editar]
La ecuación de onda en el caso de una sola dimensiónpuede ser obtenida de la Ley de Hooke de la siguiente manera: imaginese una serie de pequeños pesos de masa m, interconectados por resortes sin masa de longitud h. Los resortes tienen una rigidez de k:
Array of masses.svg
Aquí u (x) mide la distancia en equilibrio de la masa situada en x. La segunda ley de Newton aplicada sobre la masa m en el lugar x + h establece que:
F=m \cdot a(t)=m...
La ecuación de onda es una importante ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de segundo orden que describe la propagación de una variedad de ondas, como las ondas sonoras, las ondas de luz y las ondas en el agua. Es importante en varios campos como la acústica, el electromagnetismo y la dinámica de fluidos. Históricamente, el problema de una cuerda vibrante como lasque están en los instrumentos musicales fue estudiado por Jean le Rond d'Alembert (1746) por primera vez, Leonhard Euler (1748),Daniel Bernoulli (1753) y Joseph-Louis Lagrange(1759). Se hallaron soluciones en diversas formas que ocasionaron discusiones por más de veinticinco años. Las disputas aún se resolvieron en el siglo XIX.1
Introducción[editar]
La ecuación de onda es el ejemplo prototipode una ecuación diferencial parcial hiperbólica. En su forma más elemental, la ecuación de onda hace referencia a una función u(x,t) que satisface:
{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \Delta u,
Donde \Delta = \nabla^2 es el laplaciano y donde c es una constante equivalente a la velocidad de propagación de la onda. Para una onda sonora en el aire a 20 °C, esta constante es de cerca de343 m/s (véase velocidad del sonido). Para una cuerda vibrante, la velocidad puede variar mucho dependiendo de la densidad lineal de la cuerda y su tensión. Para un resorte de espiral (un slinky) puede ser tan lento como un metro por segundo.
Un modelo más realista de la ecuación diferencial para ondas permite que la velocidad de propagación de la onda varíe con la frecuencia de la onda, a estefenómeno se le conoce como dispersión. En este caso, c deberá ser remplazado por la velocidad de fase:
v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}.
Otra corrección común en sistemas realistas es que la velocidad puede depender también de la amplitud de la onda, lo que nos lleva a una ecuación de onda no lineal:
{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \Delta u
También hay que considerar que unaonda puede ser transmitida en un portador móvil (Por ejemplo la propagación del sonido en el flujo de un gas). En tal caso el escalar u contendrá un Número Mach (el cual es positivo para la onda que se mueva a lo largo del flujo y negativo para la onda reflejada).
La ecuación de onda elástica en tres dimensiones describe la propagación de onda en un medio elástico homogéneo isótropo. La mayoríade los materiales sólidos son elásticos, por lo que esa ecuación describe fenómenos tales como ondas sísmicas en la Tierra y las ondas de ultrasonido usadas para determinar defectos en los materiales. Aunque sea lineal, esta ecuación tiene una forma más compleja que las ecuaciones dadas arriba, porque debe tomar en cuenta los movimientos longitudinales y transversales:
\rho{ \ddot{\bold{u}}} =\bold{f} + ( \lambda + 2\mu )\nabla(\nabla \cdot \bold{u}) - \mu\nabla \times (\nabla \times \bold{u})
Donde:
\lambda y \mu son los supuestos parámetros de Lamé que describen las propiedades elásticas del medio.
\rho es la densidad,
\bold{f} es la función de entrada (fuerza motriz),
y \bold{u} es el desplazamiento.
Note que en esta ecuación, la fuerza y el desplazamiento son cantidadesvectoriales. Esta ecuación es conocida a veces como la ecuación de onda vectorial.
Hay variaciones de la ecuación de onda que también pueden ser encontradas en mecánica cuántica y relatividad general.
Ecuación de onda escalar en un espacio de una sola dimensión[editar]
Obtención de la ecuación de onda[editar]
De la ley de Hooke[editar]
La ecuación de onda en el caso de una sola dimensiónpuede ser obtenida de la Ley de Hooke de la siguiente manera: imaginese una serie de pequeños pesos de masa m, interconectados por resortes sin masa de longitud h. Los resortes tienen una rigidez de k:
Array of masses.svg
Aquí u (x) mide la distancia en equilibrio de la masa situada en x. La segunda ley de Newton aplicada sobre la masa m en el lugar x + h establece que:
F=m \cdot a(t)=m...
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