ecuacion de van der Waals

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ENSENANZA

REVISTA MEXICANA DE F´ISICA E 52 (1) 65–77

JUNIO 2006

Revisando la ecuaci´on de van der Waals
B. Bonilla y J.N. Herrera
Facultad de Ciencias F´ısico Matem´aticas, Benem´erita Universidad Aut´onoma de Puebla,
Apartado Postal 1152, Col Centro, Puebla, 72001 Pue., M´exico,
e-mail: est084@fcfm.buap.mx, nherrera@fcfm.buap.mx
Recibido el 28 de junio de 2005; aceptado el 31 de octubre de2005
A partir de los resultados de la mec´anica estad´ıstica cl´asica se puede deducir de manera formal la ecuaci´on de van der Waals (vdW), utilizando
como modelo de potencial de interacci´on un pozo cuadrado; a su vez se muestra que la teor´ıa de perturbaciones se puede utilizar para deducir
el mismo resultado, pero con la variante de que el modelo de potencial sea una interacci´onproporcional 1/rs , donde s > 3 y r es la distancia
relativa. Con esto se demuestra que formalmente la ecuaci´on de vdW es una primera correcci´on a la ecuaci´on de gas ideal. Se presentan todas
las propiedades termodin´amicas de un gas de vdW y diferentes formas para construir la curva de coexistencia. En este trabajo utilizamos
para construir la curva de coexistencia un m´etodo gr´afico, uno num´erico yuno anal´ıtico.
Descriptores: Ecuaci´on de estado; funci´on de partici´on; curva de coexistencia.
From the results of the classic statistical mechanics we can deduce, over a formal way, the van der Waals (vdW) equation, using like model
interaction potential an square well, also we show that the perturbation theory can be used to deduce the same result, but with a variant, the
potential model usedis proportional to an interaction 1/rs , where s > 3, and r is the relative distance. With this, one demonstrates that
formally the vdW equation is one first correction to the ideal gas equation. We obtain all the van der Waals‘s thermodynamic properties and
the coexistence curve. We used to construct the vdW coexistence curve by different methods, by a graphical method, a numerical and ananalytical one.
Keywords: Equation of state; partition function; coexistence curve.
PACS: 01.40.-d; 61.20.Gy

1.

Introducci´on

Desde hace mucho tiempo se encontr´o la relaci´on entre las
variables termodin´amicas del llamado gas ideal. Pero esta
ecuaci´on de estado no predice la transici´on gas-l´ıquido. El
primer estudio sistem´atico de c´omo se comporta un gas en su
camino a convertirse enl´ıquido y viceversa, fue hecho por el
f´ısico escoc´es T. Andrews en 1869. En este trabajo e´ l mostr´o c´omo el bi´oxido de carbono se comporta en sus fases vapor y l´ıquido [1].
El 14 de junio de 1873 [2], s´olo cuatro a˜nos despu´es de la
publicaci´on de los resultados de Andrews, el f´ısico holand´es
Johannes Diderik van der Waals (vdW) defendi´o su tesis doctoral titulada: “On the continuity of thegaseous and the liquid
state” en la Universidad de Leiden, donde propuso una teor´ıa
muy simple para explicar el comportamiento de una sustancia
en la regi´on de coexistencia l´ıquido-vapor. Usando argumentos basados en el tama˜no finito de las mol´eculas de un gas,
as´ı como de la consideraci´on de que las fuerzas de interacci´on lejos de las paredes del recipiente son fuerzas atractivas
entremol´eculas, lleg´o, de forma semi-emp´ırica, al resultado
de que la ecuaci´on de estado de un mol de gas no ideal, tiene
la siguiente forma:
p+

a
(V − b) = RT,
V2

(1)

donde los par´ametros a y b son dos par´ametros fenomenol´ogicos. Impl´ıcitamente se esta asumiendo que las part´ıculas o mol´eculas que forman el gas son esferas duras peque˜nas
de di´ametro σ, encerradas en un recipiente devolumen V , p

es la presi´on que ellos ejercen sobre las paredes del recipiente y T es la temperatura del sistema, b es un volumen propio.
Lo cual da que el volumen disponible para que se mueva el
gas es
V = V − b,

(2)

donde el volumen excluido es proporcional al volumen propio que deber´ıan ocupar las esferas, obteni´endose que
b=

2πσ 3 N
.
3

(3)

Por su parte el par´ametro a contiene las...