Ecuacion diferencial exacta

Ecuación diferencial exacta
una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:
[pic]
Recordemos que si
[pic], entonces eldiferencial total de z se define como
| |[pic] |
| |entonces el diferencial totalde z está definido por una expresión de la forma |


[pic]
en donde las derivadas parciales de las funciones M y N:
[pic] [pic]
son iguales.Esto es equivalente a decir que existe una función F(x,y)=0 tal que
[pic]
Donde
[pic] [pic].
Dado que F(x,y) es una función diferenciable entonces las derivadas cruzadas deben seriguales y esta es la condición
[pic].













Teorema

Una ecuación diferencial
| || |


[pic]
es exacta si y sólo si
| |[pic] |


Método deresolución.

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:
• Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M(con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.
• Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunquecon una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:
[pic]
• Para despejar la función g se deriva [pic]con respecto a la variable independiente de g.
• Seiguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.
• Finalmente...