Ecuaciones diferenciales exactas

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| Ecuaciones diferenciales exactas Primero debemos retomar algunos conceptos de cálculo vectorial. | Definición [Vector gradiente] |
| Sea una función escalar, entonces el gradiente es lafunción vectorial dada por |

Ejemplo
El gradiente de la función es
| Definición [Campo vectorial conservativo] |
| Sea una función vectorial, decimos que es un campo vectorial conservativo siexiste una función escalar tal que . A la función escalar se le llama función potencial. |
Ejemplo
La función vectorial es un campo vectorial conservativo, pues, si se tiene que . La definiciónanterior no es muy útil al tratar de verificar que un campo vectorial es conservativo, pues involucra el hallar una función potencial. El siguiente teorema nos facilitará esta tarea. | Teorema |
|Sea un campo vectorial definido sobre una región simplemente conexa1.1 y dado por
donde y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en , entonces es conservativo sí y sólo sí |

De pasoeste teorema nos da la clave para construir la función potencial, como veremos en el próximo ejemplo. Ejemplo
El campo vectorial
es conservativo, pues si
tenemos que
Como es conservativo,existe una función escalar tal que
de donde, como
Derivando con respecto a e igualando a la derivada parcial
Observación: algunas veces resulta más fácil integrar Con lo cual . respecto a yrespecto a y luego elegimos como la suma de ambos, tomando los términos repetidos una vez. | Definición [Ecuación diferencial exacta] |
| Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden escrita enla forma
es exacta si el campo vectorial asociado
es conservativo. |
| Teorema |
| La solución general de la ecuación diferencial exacta
está dada por , donde es la función potencial delcampo vectorial . |
Demostración: Comprobemos que es solución de la ecuación diferencial. Suponiendo que es función de , derivamos implícitamente
Como es la función potencial del campo vectorial...
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