Ecuaciones diferenciales exactas

Ecuaciones Diferenciales

Definición: Una expresión diferencial M ( x, y)dx  N ( x, y)dy es una diferencial exacta en una región R del plano X Y sicorresponde a la diferencial de alguna función f ( x, y) . Una ecuación M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 se dice que es exacta si la expresión del primer miembro es unadiferencial exacta. En forma general si tenemos df ( x, y)  0 , integrando ambos miembros nos da f ( x, y)  C Ejemplo:

1 La ecuación x 2 y 3 dx  x 3 y 2 dy 0 es exacta porque la d ( x 3 y 3 )  x 2 y 3 dx  x 3 y 2 dy 3 1 3 3 Realiza la derivada de producto de d ( x y ) para su comprobación. 3 El siguienteteorema en un criterio para determinar si una diferencial es Exacta.
Teorema: Sean M ( x, y) y N ( x, y) continuas y con derivadas parciales de primer orden en unaregión R en el plano x y. entonces una condición necesaria y Suficiente para que M ( x, y)dx  N ( x, y)dy sea una diferencial exacta es que:

M N  y xDeriva la siguiente expresión.

Compara con el resultado

x 2  5xy  y 3  c
Si observas el resultado Y le das la forma de Nos queda

(5x  3 y 2 )dy (2 x  5 y)dx  0 (5x  3 y 2 )dy  (2 x  5 y)dx  0

M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0
(2 x  5 y)dx  (5x  3 y 2 )dy  0

Y Si derivas parcialmente lafunción M con respecto de y Y N con respecto de x

Matemáticas V Ecuaciones Diferenciales

M  5 y

N  5 x

Se comprueba que es unadiferencial exacta y se podrá resolver por el método de exactas. Nota: El Algoritmo lo vamos a realizar en clase para comprender mejor los pasos para la solución.