Ecuacion Diferencial

Una ecuación diferencial es aquella que cumple las condiciones de tener una o más variables independientes y una o más variables dependientes.
Ejemplo
y’’- 3y2y’+xy=0
Siendo “y” la variabledependiente y “x” la variable independiente. Ecuación diferencial ordinaria.
Cuando solo hay una variable independiente y una dependiente se les llama ecuaciones diferenciales ordinarias, si hay dosvariables independientes se les llama ecuaciones diferenciales parciales. Ejemplo:
∂2y – 6 ∂2y = x2
∂2z ∂2x z
En esta la variable dependiente es “y” y las independientes son “z” y “x” por elloeste ejemplo es de una ecuación diferencial parcial.
En el primer ejemplo:
y’’- 3y2y’+xy=0
La ecuación diferencial es de orden 2 y de grado 1, ya que la variable independiente tiene dos derivadasy es la mayor. Y es de grado uno porque no hay potencia en la mayor derivada.
Para definir si esta es una ecuación diferencial lineal debe cumplir con las condiciones siguientes:
* Todas lasvariable dependiente “y” y todas sus derivadas deben ser de grado uno
* Cada coeficiente debe depender de la variable “x”
Por lo tanto en el ejemplo
y’’- 3y2y’+xy=0
Se concluye que no es unaecuación diferencial lineal ya que no cumple con ninguna de las condiciones.
Para identificar una ecuación homogénea se debe primero identificar la ecuación
f( x ,y) = x² y² + 5x³ y - y 4, aplicando ladefinición se tiene
f( tx, ty) = (tx)² ( ty)² + 5 (tx)³ (ty) - ( ty )4 se coloca t en cada función
f( tx,  ty) = (tx)² ( ty)²+5 (tx)³ (ty) - ( ty )4 se realizan las multiplicaciones devariables
f( tx,  ty) =  t4  x² y² + 5 t4 x³ y - t4 y4 como t4 es factor común se lleva hacia fuera
f(tx, ty ) = t4 (x2 y2  + 5x3 y - y4 ) t4 multiplica la función
f( tx,  ty) =  t4   f ( x,y)    se obtiene que t4 multiplica a la función
Por lo tanto la función es homogénea de grado 4 ya que la suma de los exponenciales da el mismo valor.

En otro caso se considera el conjunto de...