Ecuaciones cinematicas y ajuste por método de mínimos cuadrados.

ECUACIONES CINEMÁTICAS.
INTRODUCCIÓN
El movimiento de toda partícula, depende del tiempo. Cuando se habla de movimiento rectilíneo, la posición está dada por la coordenada sobre el eje que sigue este movimiento, denominado por conveniencia, x(t).
Velocidad media.
La velocidad media, indica la rapidez con que se cambia de la posición x_0 a x en el intervalo de tiempo ∆t=t-t_0, y se calculacon la siguiente fórmula:
v ̅= ∆x/∆t=(x-x_0)/(t-t_0 )
Esta, indica un promedio de cómo varía la posición de la partícula de un punto a otro, más no especifica sus cambios en cada instante de tiempo.
Velocidad instantánea.
Para describir la rapidez de una partícula en cada instante de tiempo, se debe considerar intervalos de tiempo extremadamente pequeños (infinitesimales). Es por ello quese utiliza el concepto de límite para definir la velocidad instantánea.
v(t)= lim┬(∆t→0)⁡〖∆x/∆t〗=dx/dt
Posición en función del tiempo.
En una representación gráfica, la velocidad instantánea toma el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva de la posición respecto al tiempo. En caso de tratarse de movimiento rectilíneo uniforme, la velocidad instantánea es constante e igual a lavelocidad media.
Así: ∫▒v(t)dt= ∫▒dx/dt  x(t)= vt+x_0
Aceleración media.
Análogamente, la aceleración media calcula un promedio del cambio de velocidades de un instante a otro. Por ende:

a ̅= ∆v/∆t=(v-v_0)/(t-t_0 )
Aceleración instantánea.
Para obtenerla, se calcula el límite de la relación anterior cuando el intervalo de tiempo ∆t tiende a cero:
v(t)=lim┬(∆t→0)⁡〖(v(t+∆t)-v(t))/∆t〗=(dv(t))/dt
Aceleración instantánea constante.
En este caso, la velocidad varía uniformemente. Su valor es entonces:

Con ello, la posición respecto al tiempo, está dada por la ecuación:
x(t)= 1/2 at^2+v_0 t+x_0
Notemos que, en caso de a=0, ésta ecuación se ve reducida. La velocidad se mantiene constante y la posición cambia uniformemente con el tiempo.
Un ejercicio típico para el uso de estas ecuacionescinemáticas, es la caída libre de un cuerpo donde a=-g=-9,81 m/s^2
v(t)=-gt+ v_0
x(t)=-1/2 gt^2+v_0 t+x_0



MINIMOS CUADRADOS
INTRODUCCIÓN
El trabajo experimental suele arrojar resultados que rompan con los resultados preestablecidos. Por ello, algunas personas tratan de forzarlos, obteniendo así un resultado cercano a lopreestablecido. Sin embargo, el experimentador debe tratar de explicar los resultados obtenidos. Pues la ciencia evoluciona a consecuencia de explicar resultados nuevos e incluso inesperados.
Es así, que en esta práctica, se busca establecer las relaciones entre pares de variables físicas. Observando así, la ventaja de algunas técnicas para graficar, así como para determinar la curva que describa, demanera más próxima a la realidad, la relación entre dos variables físicas.
El método de mínimos cuadrados:
Fue inventado por Gauss para ajustar el movimiento del planeta enano “Ceres” (descubierto y nombrado por Piazzi). Este método, consiste en ajustar una curva representativa del movimiento a nuestros resultados.
Función lineal que pasa por el origen
En este caso, se habla de una funciónlineal del tipo f(x)=ax que mejor se aproxima a nuestros datos experimentales. Sin detallar cálculos, de acuerdo con este método se tiene que:
a=(∑▒(x_i y_i ) )/(∑▒(〖x_i〗^2 ) )



Función lineal que puede no pasar por el origen.
Primeramente, veamos cómo ajustar una función lineal. Del tipo f(x)=ax+b siendo a la pendiente y b la ordenada al origen.
Sin detallar el procedimiento, deacuerdo a este método, se tienen: Con i= 1,2,3,…,n
a=(n∑▒(x_i y_i ) -∑▒〖(x_i ) ∑▒(y_i ) 〗)/(n∑▒(〖x_i〗^2 ) -(∑▒(x_i ) )^2 )
b=(∑▒(x_i ) ∑▒(y_i ) -∑▒(x_i y_i ) ∑▒(x_i ) )/(n∑▒(〖x_i〗^2 ) -(∑▒(x_i ) )^2 )
En principio, este método asume que, al fijar las condiciones experimentales, se conocerán los valores "x_i " e "y_i " de manera absoluta. Lo cual no es el caso. Así, tanto la...