Ecuaciones conicas

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Ecuaciones ordinarias de las cónicas
Circunferencia
Por definición, la circunferencia es la curva en donde todos sus puntos equidistan de otro llamado centro. Si la circunferencia tiene centro en el origen, la ecuación es:
x2 + y2 = r2
donde x y y denotan a las coordenadas rectangulares de un punto de la curva y r es el radio de la circunferencia. Esta forma es en realidad el Teorema dePitágoras donde se consideran todos los triángulos rectángulos con hipotenusa constante e igual a r.
Si el centro de la circunferencia se encuentra fuera del origen, en las coordenadas (h,k), la ecuación queda:
(x-h)2 + (y-k)2 = r2
También es posible calcular el centro y radio de un círculo sabiendo tres puntos por los que pasa.
Parábola
La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos queequidistan de una línea recta llamada directriz y un punto fijo llamado foco. El punto de la curva más cercano a la directriz se llama vértice. A la recta que pasa por el foco y el vértice se denomina eje focal.
Deduciremos la ecuación de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje de las abcisas. Podemos fijar a la directriz como una recta de ecuación x=p, siendo p cualquier constante real.Luego denominamos a un punto de la parábola por sus coordenadas (x, y). Vamos a considerar que el foco está ubicado en (-p, 0), por simplicidad. Según estas condiciones podemos plantear:
|x-p| = [(x+p)2 + y2]1/2
(x-p)2 = (x+p)2 + y2
x2 - 2px + p2 = x2 + 2px + p2 + y2
Simplificando y reordenando:
y2 = 4px
Algunos autores manejan también la ecuación y2 = 2px, siendo la ecuación de la directrizx=p/2 y las coordenadas del foco (-p/2,0). Esto significa que nuestra ecuación original considera como 2p la distancia entre el foco y el vértice, mientras que con este cambio la distancia es simplemente p.
Sustituyendo en nuestro planteamiento original las ordenadas por las abcisas y viceversa, obtenemos una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje de las ordenadas, es decir x2= 4py.
Si elvértice se encuentra en las coordenadas (h,k) entones la ecuación se transforma en:
(y-k)2 = 4p(x-h)
De la misma manera:
(x-h)2= 4p(y-k)
http://www.prepafacil.com/cobach/Main/CircunferenciaConCentroFueraDelOrigen
Obtención de parábolas, por medio de una ecuación.
Una ecuación de segundo grado, en las variables x y y que carezca del término xy, puede escribirse en la forma:
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F= 0
Si A = 0, C " 0 y D " 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo o coincide con el eje x.
Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Si en cambio D = 0, lo ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje y.
Cy2 + Ey + F = 0
Dos rectas coincidentes paralelas en el eje x, o ningún lugar geométrico según que las raíces de la ecuación son reales y desiguales, reales e iguales ocomplejas.
Si A " 0, C = 0 y E "0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje y.
Ax2 + Dx + Ey + F = 0
Si en cambio, E = 0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje y, dos rectas coincidentes paralelas al eje y, o ningún lugar geométrico según que las raíces de:
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas.
Demostrarque la ecuación 4x2 - 20x - 24y + 97 = 0 es una parábola.
http://html.rincondelvago.com/matematicas_53.html
l propósito de este artículo es mostrar cómo resolver la ecuación diofántica Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. El término ecuación diofántica significa que las soluciones (x, y) deben ser números enteros. Por ejemplo, la ecuación 4y2 - 20y + 25 = 0 tiene soluciones dadas por la líneahorizontal y = 2,5, pero como 2,5no es un número entero, diremos que la ecuación no tiene soluciones.
Hay algunos casos que dependen de los valores de A, B y C. Los nombres de estos casos se toman de las figuras que la ecuación representa en el plano xy: una línea, una elipse, una parábola o una hipérbola (o dos líneas). Estas figuras son el conjunto de soluciones reales. En nuestra situación, el...
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