Ecuaciones Cuadráticas-Matemáticas

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo:Resolver la ecuación    x − 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e inclusoninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
                                 ax2 + bx + c = 0

 Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde  a, b, y c son números reales.

Ejemplo:
9x2 + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10
3x2  - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2 + 10              a = -6, b = 0, c =10

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:
 La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorizaciónsimple de la ecuación
 x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8

(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x2]

( x +   )   (x  -   ) = 0                        
Hay que buscar dos número que multipliquen y den el valor de c y que a la vez sumen y el valor sea igual a bEn este caso, dos números cuyo producto sea -8, que estos mismos números sumen 2 | |

(x + 4 ) (x –2) = 0                                        4 y –2     4 + -2 = 2
                                                                    4 · -2 = -8
4x-2x2x

x + 4 = 0       x – 2 = 0

x + 4 = 0      x – 2 = 0
x = 0 – 4      x = 0 + 2
x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.

Solución por factorización
En toda ecuación  cuadrática uno  de sus miembroses un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno desus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:
2x2-x+6x-3=9
2x2+5x-3=9
Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:
2x2+5x-3-9=0
2x2+5x-12=0
Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2x − 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar acero cada término del producto para resolver las incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3
x=32
Si
x + 4 = 0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x2 + 5x − 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 − 12 = − 5x
Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, yporque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b)2 = n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo
x2 + bx + c = 0

por ejemplo, la ecuación
x2 + 8x = 48, que también puede escribirse   x2 + 8x − 48 = 0
Al primer miembro de la...