Ecuaciones Cuadráticas

Ecuaciones Cuadráticas – Factorización
Por: Ricardo Andrés Gómez mestra
Revisado por: Dra. Luz M. Rivera

 Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde  a, b, y c son números reales.

Ejemplo:
9x2 + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10
3x2  - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2 + 10              a = -6, b = 0, c = 10
 

Hay tres formas dehallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:
 
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
 
 
Factorización Simple:
 La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
 
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
 x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8

(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x2]

( x +   )   (x  -   ) = 0 | |
(x + 4 ) (x – 2) = 0                                        4 y –2     4 + -2 = 2
                                                                    4 · -2 = -8
   
x + 4 = 0       x – 2 = 0
x + 4 = 0      x – 2 = 0
x = 0 – 4      x = 0 + 2x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.
 
 
Completando el Cuadrado:
  En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
 Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:
 
 

4x2/4+ 12x/4 – 8/4  = 0/4

| |

 
x2 + 3x – 2 =0   Ahora,  a= 1.
 
Ejemplo:
     x2 + 2x – 8 = 0       [Ya está en su forma donde a = 1.]
          x2 + 2x = 8        [ Pasar a c al lado opuesto.]
x2 + 2x + ___ = 8 + ___[Colocar los blancos]
 
 
 
x2  + 2x + 1    = 8 + 1 | |
    x2  + 2x + 1 = 9
 (       )  (      )  = 9     Hay que factorizar.
                                 Nota: Siempre será un cuadrado                                 perfecto.
 
 
 
( x + 1) (x + 1) = 9          (x + 1)2 = 9           (x + 1) = ±    | |

 
x + 1 =  ± 3
      x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.]
      x = -1 + 3       x = -1 – 3
      x = 2               x = -4
 
 
 
Fórmula Cuadrática:
 Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:
 
 Ejemplo:
x2 + 2x – 8 = 0      a = 1, b = 2, c = -8
 
 
 

x = -2 ± 6
       2 X =  -2 + 6     x = -2 - 6
        2                  2

x = 4          x = -8
      2                 2 x = 2      x = - 4 |
 

 
|

 
Solución por la fórmula general
 
Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

La fórmula genera dosrespuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−)  antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y  c y sustituir sus valores en la fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultadostiene que ver con las técnicas de factorización.
Ejemplo:  
Resolver la ecuación  2x2 + 3x − 5 = 0
Vemos claramente que a = 2,     b = 3   y     c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − :
  y también      
Así es que las soluciones son .
Aquí debemos anotar algo muy importante:
En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparecela expresión . Esa raíz cuadrada sólo existirá cuando el radicando (b2 − 4ac) sea positivo o cero.
El radicando b2 – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ. El número de soluciones (llamadas también raíces) depende del signo de Δ y se puede determinar incluso antes de resolver la ecuación.

Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto),...