Ecuaciones de Grado Superior

FACULTAD DE INGENIERÍA, REGIÓN VERACRUZ
CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
APUNTES DE ALGEBRA
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Ecuaciones de Grado Superior.
Sea la ecuación:
en donde n es entero y positivo y los coeficientes a0, a1 y a2, .... an son constantes. Nos referiremos a a0
como coeficiente principal, siendo el coeficiente del término de mayor grado.
Para n = 1, la ecuación anterior es unaecuación lineal o de primer grado.
Para n = 2 es una ecuación cuadrática o de segundo grado.
Para n = 3 es una ecuación cúbica o de tercer grado.
Para n = 4 es una ecuación de cuarto grado.
Existen soluciones algebraicas para ecuaciones hasta de cuarto grado, aunque generalmente resultan
muy laboriosas, para ecuaciones con n ≥ 5 no poseen soluciones algebraicas.

Teorema de Residuo y delFactor
3

2

Si dividimos el polinomio f(x) = 3x - 4x - 2x – 7 entre x-2 usando la división sintética ordinaria,
2
obtenemos el cociente Q(x) = 3x + 2x + 2 y el residuo R = -3. Observemos que si sustituimos en el
3
2
polinomio original x = 2, obtenemos f(2) = 3(2) – 4(2) – 2(2) – 7 = -3.
Teorema del residuo, si el polinomio f(x) se divide entre x- r, siendo r una constante independiente dex,
el residuo es igual a f(r).
4

Ejemplo 1: Sin efectuar la división, calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomio f(x) = x + 5x
2
+ 5x – 4x – 7 entre x + 3.

3

Solución: Aplicando el teorema del residuo, el resto que se obtiene al dividir el polinomio dado entre x + 3
es:
4

3

2

f(-3) = (-3) + 5(-3) + 5(-3) -4(-3) – 7 = 81 – 135 + 45 +12 – 7= -4
Lo cual sepuede comprobar realizando la división sintética.
1

5

5

-4

-7

1

-3

-6

3

3

2

-1

-1

-4

-3

Con lo cual se comprueba el resultado.
3

2

Ejemplo 2: Por medio del Teorema del factor, demostrar que x – 5 es un factor de f(x) = x – 8x + 19x –
20.
Solución: X – 5 será factor de f(x), si f(5) = 0, comprobamos:
3

2

f(5) = (5) – 8(5) + 19(5) – 20 =125 -200 + 95 – 20 = 0.
n

n

Ejemplo 3: Por medio del Teorema del residuo, demostrar que x – a es divisible exactamente entre x – a
para todo valor entero y positivo de n.
Solución: Aplicando el Teorema del residuo, tenemos:
n
n
f(a) = a – a = 0
Por lo tanto la división es exacta.

M.I. ANGEL MONTEJO HERNÁNDEZ

SEPTIEMBRE 2010

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CARRERA DEINGENIERÍA CIVIL
APUNTES DE ALGEBRA
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Gráfica de un Polinomio
Construir la gráfica del polinomio:
4

3

2

f(x) = x – x – 12x + 8x + 24 y localizar las raíces reales f(x) = 0.
Solución: Para graficar el polinomio, debemos hacer una tabulación, asignando valores a x entre los
intervalos -4 a +4.

x

f(x)
-4

120

-3

0

-2

-16

-1

6

024

1

20

2

0

3

-6

4

56

f(x)
 
140
 
120
 
100
 
80
 
60
 

f(x)
 

40
 
20
 
0
 
-­‐5
 

-­‐4
 

-­‐3
 

-­‐2
 

-­‐1
 

-­‐20
 

0
 

1
 

2
 

3
 

4
 

5
 

-­‐40
 
M.I. ANGEL MONTEJO HERNÁNDEZ

SEPTIEMBRE 2010

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APUNTES DE ALGEBRA
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Ejemplo 2: Construir la gráfica del polinomio:
2

3

2

f(x) = (x + 1) (x – 2) (x + x + 1)
y analizar las raíces de f(x) = 0
Solución:

x

f(x)
-2

-192

-1.5 -18.7578125
-1

0

-0.5

-2.9296875

0

-8

1

-12

1.5

-3.7109375

2

0

2.5

14.9296875

3

208

f(x)
 
250 
200
 
150
 
100
 
50
 
0
 
-­‐3
 

-­‐2
 

-­‐1
 

-­‐50
 

f(x)
 
0
 

1
 

2
 

3
 

4
 

-­‐100
 
-­‐150
 
-­‐200
 
-­‐250
 
Observamos que en el punto correspondiente a la raíz doble -1, la gráfica es tangente al eje x y no lo
corta, esto es característico de una raíz múltiple de multiplicidad par....